Benannt nach dem französischen Mathematiker Joseph Fourier, ist die Fourier-Transformation ein mathematisches Verfahren, mit dem man den Frequenzgehalt einer Funktion bestimmen kann. Für Elektroingenieure wird die Fourier-Transformation typischerweise auf Zeitfunktionen angewendet, die wir als Signale bezeichnen.
Sinuszerlegung
Eine Darstellung von Spannung oder Strom über der Zeit, wie wir sie auf einem Oszilloskop-Display sehen würden, ist eine intuitive Darstellung des Signalverhaltens. Es ist jedoch nicht die einzige nützliche Darstellung.
In vielen Fällen – z. B. beim Entwurf von HF-Systemen – sind wir in erster Linie an dem periodischen Verhalten von Signalen interessiert. Genauer gesagt sind wir daran interessiert, ein Signal in Bezug auf sinusförmige Periodizität zu verstehen, da Sinuskurven der einzige mathematische Ausdruck für „reine“ Frequenz sind.
Die Fourier-Transformation enthüllt die elementare Periodizität eines Signals, indem sie das Signal in seine einzelnen sinusförmigen Frequenzen zerlegt und die Beträge und Phasen dieser einzelnen Frequenzen identifiziert.
Das Wort „Zerlegung“ ist hier entscheidend. Die Fourier-Transformation lehrt uns, ein Signal im Zeitbereich als eine Wellenform zu betrachten, die sich aus zugrunde liegenden Sinuswellen mit verschiedenen Beträgen und Phasen zusammensetzt.
Eine Rechteckwelle kann beispielsweise in eine unendliche Reihe von Sinuswellen zerlegt werden, deren Amplituden stetig abnehmen und deren Frequenzen stetig zunehmen. Die exakte Reihe kann für eine AC-gekoppelte Rechteckwelle der Periode T und der Amplitude A wie folgt geschrieben werden:
Wir können dies in die folgende Form umwandeln, die etwas intuitiver ist:
wobei f die Frequenz, in Hertz, der Rechteckwelle ist.
Das folgende Diagramm zeigt die ursprüngliche Rechteckwelle, in blau, und die ersten acht Sinuskurven in der unendlichen Reihe.
Nach dem Betrachten dieses Diagramms sind Sie vielleicht immer noch etwas skeptisch, dass diese Sinuskurven zu einer Rechteckwelle kombiniert werden können. Die nächste Darstellung wird Sie aber überzeugen. Sie zeigt die ursprüngliche Rechteckwelle und die Wellenform, die durch die Addition aller oben gezeigten Sinusschwingungen entsteht.
Funktionen von Zeit und Frequenz
Wenn wir eine Fouriertransformation berechnen, beginnen wir mit einer Funktion der Zeit, f(t), und durch mathematische Zerlegung erhalten wir eine Funktion der Frequenz, F(ω). (In theoretischen Diskussionen über die Fourier-Transformation verwenden wir üblicherweise die Winkelfrequenz.)
Wenn wir F(ω) bei einer bestimmten Winkelfrequenz, sagen wir 100 rad/s, auswerten, erhalten wir den Betrag und die Phase der sinusförmigen Komponente von f(t), die eine Frequenz von 100 rad/s hat. Wenn f(t) keine sinusförmige Komponente bei 100 rad/s hat, ist der Betrag gleich Null.
Sie fragen sich vielleicht, wie eine Funktion, F(ω), sowohl Betrag als auch Phase angeben kann. Die Fourier-Transformation erzeugt eine komplexwertige Funktion, was bedeutet, dass die Transformation selbst weder den Betrag der Frequenzkomponenten in f(t) noch die Phase dieser Komponenten darstellt. Wie bei jeder komplexen Zahl müssen wir zusätzliche Berechnungen durchführen, um den Betrag oder die Phase zu extrahieren.
Das Konzept einer komplexwertigen Transformation ist etwas intuitiver, wenn wir mit einer diskreten Fourier-Transformation arbeiten und nicht mit einer „Standard“-Transformation, bei der wir mit einer symbolischen Funktion der Zeit beginnen und mit einer symbolischen Funktion der Frequenz enden.
Die diskrete Fourier-Transformation arbeitet mit einer Folge von numerischen Werten und erzeugt eine Folge von Fourier-Koeffizienten. Diese Koeffizienten sind typische komplexe Zahlen (d.h. sie haben die Form a + jb), und wir verwenden normalerweise den Betrag dieser komplexen Zahlen, berechnet als √(a2+b2), wenn wir den Frequenzgehalt eines Signals analysieren.
Darstellung der Fourier-Transformation
Darstellungen des Frequenzgehalts sind in Datenblättern, Testberichten, Lehrbüchern usw. sehr häufig. Wir bezeichnen eine Darstellung des Betrags gegen die Frequenz oft als Spektrum – z. B. „Schauen wir uns das Spektrum des Signals an“ bedeutet „Schauen wir uns eine Art visuelle Darstellung der Betragsinformation in der Fourier-Transformation an.“
Das folgende Diagramm zeigt das Spektrum einer AC-gekoppelten Rechteckwelle mit einer Amplitude von 1 und einer Frequenz von 1 Hz.
Vergleicht man die gezeichneten Amplituden der Frequenz-„Spikes“ mit den Amplituden der entsprechenden Sinuskomponenten in der oben besprochenen unendlichen Reihe, so sieht man, dass sie übereinstimmen.
Berechnung der Fourier-Transformation
Wir sind fast am Ende dieses Artikels, und ich habe Ihnen immer noch nicht erzählt, wie wir eigentlich die Fourier-Transformation eines mathematisch definierten Signals erzeugen.
Um ehrlich zu sein, sehe ich keine Notwendigkeit, mathematische Details in einem einführenden Artikel gründlich zu erforschen: Die Analyse im Frequenzbereich wird heutzutage von benutzerfreundlichen, softwarebasierten Techniken dominiert, und Ingenieure verbringen nicht viel Zeit damit, symbolische Ausdrücke im Zeitbereich in symbolische Ausdrücke im Frequenzbereich umzuwandeln.
Allerdings ist es bei etwas so Wichtigem wie der Fourier-Transformation gut, sich zumindest der zugrunde liegenden Mathematik bewusst zu sein. So wird f(t) kurzerhand in F(ω) umgewandelt:
Fazit
Ich hoffe, dass dieser Artikel eine klare, intuitive Erklärung dafür geliefert hat, was die Fourier-Transformation ist und wie sie uns einen zusätzlichen Einblick in die Natur eines Signals gibt.
Die Fourier-Transformation ist nur der Anfang einer umfangreichen Reihe von verwandten Themen; wenn Sie mehr erfahren möchten, werfen Sie einen Blick auf die unten aufgeführten Artikel.