Anwendungen einfacher Wahrscheinlichkeitsexperimente
Der grundlegende Bestandteil der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Experiment, das zumindest hypothetisch unter im Wesentlichen gleichen Bedingungen wiederholt werden kann und bei verschiedenen Versuchen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen kann. Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Experiments wird als „Stichprobenraum“ bezeichnet. Das Experiment des einmaligen Werfens einer Münze ergibt einen Stichprobenraum mit zwei möglichen Ergebnissen, „Kopf“ und „Zahl“. Das Werfen von zwei Würfeln ergibt einen Stichprobenraum mit 36 möglichen Ergebnissen, von denen jedes mit einem geordneten Paar (i, j) identifiziert werden kann, wobei i und j einen der Werte 1, 2, 3, 4, 5, 6 annehmen und die auf den einzelnen Würfeln gezeigten Flächen bezeichnen. Es ist wichtig, sich die Würfel als identifizierbar vorzustellen (z. B. durch einen Farbunterschied), so dass das Ergebnis (1, 2) von (2, 1) verschieden ist. Ein „Ereignis“ ist eine wohldefinierte Teilmenge des Stichprobenraums. Zum Beispiel besteht das Ereignis „die Summe der auf den beiden Würfeln gezeigten Flächen ist gleich sechs“ aus den fünf Ergebnissen (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) und (5, 1).
Encyclopædia Britannica, Inc.
Ein drittes Beispiel ist die Ziehung von n Kugeln aus einer Urne, die Kugeln verschiedener Farben enthält. Ein allgemeines Ergebnis dieses Experiments ist ein n-Tupel, wobei der i-te Eintrag die Farbe der Kugel angibt, die bei der i-ten Ziehung erhalten wurde (i = 1, 2,…, n). Trotz der Einfachheit dieses Experiments liefert ein gründliches Verständnis die theoretische Grundlage für Meinungsumfragen und Stichprobenerhebungen. Zum Beispiel können Individuen in einer Population, die einen bestimmten Kandidaten bei einer Wahl favorisieren, mit Kugeln einer bestimmten Farbe identifiziert werden, diejenigen, die einen anderen Kandidaten favorisieren, mit einer anderen Farbe, und so weiter. Die Wahrscheinlichkeitstheorie liefert die Grundlage für das Lernen über den Inhalt der Urne aus der Stichprobe der Kugeln, die aus der Urne gezogen werden; eine Anwendung ist das Lernen über die Wahlpräferenzen einer Population auf der Grundlage einer Stichprobe, die aus dieser Population gezogen wird.
Eine weitere Anwendung von einfachen Urnenmodellen sind klinische Studien, die dazu dienen, festzustellen, ob eine neue Behandlung für eine Krankheit, ein neues Medikament oder ein neues chirurgisches Verfahren besser als eine Standardbehandlung ist. In dem einfachen Fall, in dem die Behandlung entweder als Erfolg oder als Misserfolg angesehen werden kann, besteht das Ziel der klinischen Studie darin, herauszufinden, ob die neue Behandlung häufiger zum Erfolg führt als die Standardbehandlung. Die erkrankten Patienten können mit Kugeln in einer Urne identifiziert werden. Die roten Kugeln sind die Patienten, die durch die neue Behandlung geheilt werden, und die schwarzen Kugeln sind die, die nicht geheilt werden. In der Regel gibt es eine Kontrollgruppe, die die Standardbehandlung erhält. Sie werden durch eine zweite Urne mit einem möglicherweise anderen Anteil an roten Kugeln repräsentiert. Das Ziel des Experiments, bei dem aus jeder Urne eine gewisse Anzahl von Kugeln gezogen wird, ist es, anhand der Stichprobe herauszufinden, welche Urne den größeren Anteil an roten Kugeln hat. Eine Variation dieser Idee kann verwendet werden, um die Wirksamkeit eines neuen Impfstoffs zu testen. Das vielleicht größte und berühmteste Beispiel war der Test des Salk-Impfstoffs gegen Poliomyelitis, der 1954 durchgeführt wurde. Er wurde vom U.S. Public Health Service organisiert und umfasste fast zwei Millionen Kinder. Sein Erfolg hat dazu geführt, dass die Kinderlähmung als Gesundheitsproblem in den industrialisierten Teilen der Welt fast vollständig ausgerottet wurde. Streng genommen handelt es sich bei diesen Anwendungen um Probleme der Statistik, für die die Wahrscheinlichkeitsrechnung die Grundlagen liefert.
Im Gegensatz zu den oben beschriebenen Experimenten haben viele Experimente unendlich viele mögliche Ergebnisse. Zum Beispiel kann man eine Münze so lange werfen, bis zum ersten Mal „Kopf“ erscheint. Die Anzahl der möglichen Würfe ist n = 1, 2,…. Ein anderes Beispiel ist das Drehen eines Spinners. Für einen idealisierten Spinner, der aus einem geraden Liniensegment ohne Breite besteht und in seiner Mitte gedreht wird, ist die Menge der möglichen Ergebnisse die Menge aller Winkel, die die Endposition des Spinners mit einer festen Richtung bildet, also alle reellen Zahlen in [0, 2π]. Viele Messungen in den Natur- und Sozialwissenschaften, wie z. B. Volumen, Spannung, Temperatur, Reaktionszeit, Grenzertrag und so weiter, werden auf kontinuierlichen Skalen durchgeführt und umfassen zumindest theoretisch unendlich viele mögliche Werte. Wenn wiederholte Messungen an verschiedenen Probanden oder zu verschiedenen Zeiten am gleichen Probanden zu unterschiedlichen Ergebnissen führen können, ist die Wahrscheinlichkeitstheorie ein mögliches Werkzeug, um diese Variabilität zu untersuchen.
Aufgrund ihrer vergleichsweisen Einfachheit werden zunächst Experimente mit endlichen Stichprobenräumen diskutiert. In der frühen Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie betrachteten Mathematiker nur solche Experimente, bei denen es aufgrund von Symmetrieüberlegungen sinnvoll erschien, anzunehmen, dass alle Ergebnisse des Experiments „gleich wahrscheinlich“ sind. Dann sollten bei einer großen Anzahl von Versuchen alle Ergebnisse mit ungefähr gleicher Häufigkeit auftreten. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist definiert als das Verhältnis der Anzahl der Fälle, die für das Ereignis günstig sind – d.h. die Anzahl der Ergebnisse in der Teilmenge des Stichprobenraums, die das Ereignis definiert, zur Gesamtzahl der Fälle. So werden die 36 möglichen Ergebnisse beim Wurf von zwei Würfeln als gleich wahrscheinlich angenommen, und die Wahrscheinlichkeit, „sechs“ zu erhalten, ist die Anzahl der günstigen Fälle, 5, geteilt durch 36, oder 5/36.
Nun nehmen wir an, dass eine Münze n-mal geworfen wird, und betrachten die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Kopf kommt nicht vor“ in den n Würfen. Ein Ergebnis des Experiments ist ein n-Tupel, dessen k-ter Eintrag das Ergebnis des k-ten Wurfs identifiziert. Da es für jeden Wurf zwei mögliche Ergebnisse gibt, beträgt die Anzahl der Elemente im Stichprobenraum 2n. Davon entspricht nur ein Ergebnis keinem Kopf, so dass die geforderte Wahrscheinlichkeit 1/2n beträgt.
Es ist nur geringfügig schwieriger, die Wahrscheinlichkeit für „höchstens einen Kopf“ zu bestimmen. Zusätzlich zu dem einen Fall, in dem kein Kopf vorkommt, gibt es n Fälle, in denen genau ein Kopf vorkommt, weil er beim ersten, zweiten,…, oder n-ten Wurf vorkommen kann. Es gibt also n + 1 Fälle, die günstig sind, um höchstens einen Kopf zu erhalten, und die gewünschte Wahrscheinlichkeit ist (n + 1)/2n.