Die Umkehrung ist, wenn Sie das Wenn
und Dann einer bedingten Aussage vertauschen.
Nun, bedingte Aussage bedeutet, wenn etwas
passiert, dann muss etwas anderes wahr
sein.
Aber man kann es sich auch als
Hypothese und Schlussfolgerung vorstellen.
Eine Umkehrung ist also nicht immer wahr.
Schauen wir uns also zwei Beispiele an.
Hier werden wir gebeten, die Umkehrung
der Aussage zu finden und uns dann zu fragen,
ob sie wahr ist.
Die erste Aussage besagt also, wenn es
Montag ist, dann ist es ein Wochentag.
Nun, das ist wahr.
Wenn heute Montag ist, dann ist es ein Wochentag.
Die Umkehrung nimmt also das
wenn und das dann und tauscht sie aus.
Oder eine andere Art, darüber nachzudenken, ist
wir nehmen das, was nach dem
Dann kommt und schreiben es nach dem Wenn.
So werde ich sagen, wenn es ein Wochentag ist –
also werde ich den zweiten Teil
nehmen, der unsere Schlussfolgerung war, wenn es
ein Wochentag ist, jetzt muss ich es
wieder vertauschen. Dann werde ich den ersten Teil
meiner Aussage hier sagen, der besagt, dass es Montag ist.
Die Umkehrung nimmt also wieder eine Hypothese
in der Schlussfolgerung und vertauscht sie.
Nun, wenn es ein Wochentag ist, dann ist
Montag nicht immer wahr.
Was wäre, wenn heute Dienstag wäre.
Dienstag ist ein Wochentag.
So ist nicht jeder Wochentag Montag.
So ist die Aussage hier nicht wahr.
Die Umkehrung ist nicht wahr.
Lassen Sie uns einen weiteren betrachten und
auf die Geometrie anwenden.
Wenn ein Winkel 88 Grad misst,
dann ist er spitz.
Das stimmt per Definition: Ein spitzer Winkel
ist jeder Winkel, der weniger
als 90 Grad aber mehr
als 0 Grad misst.
Lassen Sie uns also die Umkehrung finden.
Anstatt
zu sagen, ob ein Winkel 88 Grad misst,
nehme ich den zweiten
Teil dieser Aussage.
Anstatt
zu sagen, ob ein Winkel spitz ist, sagt mir
nichts, ob ein Winkel spitz ist, okay.
Da musste ich also ein paar
Wörter einfügen, damit es Sinn macht.
Dann sage ich jetzt den zweiten Teil.
Der Winkel misst 88 Grad.
Dann misst der Winkel 88 Grad.
So, wenn wir uns diese Aussage ansehen, sagen wir
ich hätte hier einen Winkel, der
75 Grad misst.
Nun, es ist ein spitzer Winkel, aber er ist
nicht gleich genau 88 Grad.
So ist auch die Umkehrung dieser Aussage nicht
wahr, aber nicht jede Aussage
in der Geometrie, deren Umkehrung
falsch sein muss.
Das wird also nicht immer der Fall sein.
Ich habe hier gerade zwei Beispiele gegeben, bei denen, wenn man
die if- und die then-Anweisung nimmt,
sie vertauscht und auswertet, man
Gegenbeispiele finden kann, bei denen
die Umkehrung nicht wahr ist.