Die Standardabweichung (SD) misst den Betrag der Variabilität oder Streuung der einzelnen Datenwerte zum Mittelwert, während der Standardfehler des Mittelwerts (SEM) misst, wie weit der Stichprobenmittelwert (Durchschnitt) der Daten wahrscheinlich vom wahren Populationsmittelwert entfernt ist. Der SEM ist immer kleiner als der SD.
Key Takeaways
- Die Standardabweichung (SD) misst die Streuung eines Datensatzes relativ zu seinem Mittelwert.
- Der Standardfehler des Mittelwerts (SEM) misst, wie weit der Mittelwert einer Stichprobe im Vergleich zum Populationsmittelwert wahrscheinlich abweicht.
- Der SEM nimmt die SD und teilt sie durch die Quadratwurzel des Stichprobenumfangs.
SEM vs. SD
Standardabweichung und Standardfehler werden beide in allen Arten von statistischen Studien verwendet, einschließlich derer in den Bereichen Finanzen, Medizin, Biologie, Technik, Psychologie usw. In diesen Studien werden die Standardabweichung (SD) und der geschätzte Standardfehler des Mittelwerts (SEM) verwendet, um die Eigenschaften von Stichprobendaten darzustellen und die Ergebnisse der statistischen Analyse zu erklären. Einige Forscher verwechseln jedoch gelegentlich die SD und den SEM. Solche Forscher sollten sich daran erinnern, dass die Berechnungen für SD und SEM unterschiedliche statistische Schlussfolgerungen beinhalten, die jeweils ihre eigene Bedeutung haben. SD ist die Streuung der einzelnen Datenwerte.
Mit anderen Worten, SD gibt an, wie genau der Mittelwert die Stichprobendaten repräsentiert. Die Bedeutung von SEM beinhaltet jedoch statistische Schlussfolgerungen, die auf der Stichprobenverteilung basieren. SEM ist die SD der theoretischen Verteilung der Stichprobenmittelwerte (der Stichprobenverteilung).
Berechnung der Standardabweichung
Standardabweichung σ=∑i=1n(xi-x¯)2n-1Varianz=σ2Standardfehler (σx¯)=σnwobei:x¯=der Stichprobenmittelwertann=der Stichprobenumfang\begin{aligned} &\text{Standardabweichung} \sigma = \sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}^n{\left(x_i – \bar{x}\right)^2} }{n-1} } \\ &\text{variance} = {\sigma ^2 } \\ &\text{standard error }\left( \sigma_{\bar x} \right) = \frac{{\sigma }}{\sqrt{n}} \\\ &\textbf{wo:&\bar{x}=\text{Mittelwert der Stichprobe}\\ &n=\text{Stichprobenumfang}\\ end{aligned}Standardabweichung σ=n-1∑i=1n(xi-x¯)2Varianz=σ2Standardfehler (σx¯)=nσwobei:x¯=der Stichprobenmittelwertn=der Stichprobenumfang
Die Formel für die SD erfordert ein paar Schritte:
- Zuerst nimmt man das Quadrat der Differenz zwischen jedem Datenpunkt und dem Stichprobenmittelwert und findet die Summe dieser Werte.
- Dann teilen Sie diese Summe durch den Stichprobenumfang minus eins, was die Varianz ergibt.
- Schließlich nehmen Sie die Quadratwurzel aus der Varianz, um die SD zu erhalten.
Standardfehler des Mittelwerts
Der SEM wird berechnet, indem die Standardabweichung durch die Quadratwurzel des Stichprobenumfangs geteilt wird.
Der Standardfehler gibt die Genauigkeit eines Stichprobenmittelwerts an, indem die Variabilität der Stichprobenmittelwerte von Stichprobe zu Stichprobe gemessen wird. Der SEM beschreibt, wie genau der Mittelwert der Stichprobe als Schätzung des wahren Mittelwerts der Grundgesamtheit ist. Wenn der Umfang der Stichprobendaten größer wird, nimmt der SEM im Vergleich zum SD ab; daher schätzt der Stichprobenmittelwert den wahren Mittelwert der Grundgesamtheit mit größerer Genauigkeit, wenn der Stichprobenumfang zunimmt. Im Gegensatz dazu wird die SD durch die Vergrößerung der Stichprobe nicht notwendigerweise größer oder kleiner, sie wird nur zu einer genaueren Schätzung der Populations-SD.
Standardfehler und Standardabweichung in der Finanzwissenschaft
In der Finanzwissenschaft misst der Standardfehler der mittleren täglichen Rendite eines Vermögenswerts die Genauigkeit des Stichprobenmittelwerts als Schätzung der langfristigen (dauerhaften) mittleren täglichen Rendite des Vermögenswerts.
Auf der anderen Seite misst die Standardabweichung der Rendite die Abweichungen der einzelnen Renditen vom Mittelwert. Somit ist die SD ein Maß für die Volatilität und kann als Risikomaß für eine Anlage verwendet werden. Vermögenswerte mit größeren täglichen Kursbewegungen haben eine höhere SD als Vermögenswerte mit geringeren täglichen Bewegungen. Unter der Annahme einer Normalverteilung liegen etwa 68 % der täglichen Preisänderungen innerhalb einer SD vom Mittelwert, wobei etwa 95 % der täglichen Preisänderungen innerhalb von zwei SD vom Mittelwert liegen.