Reine Scherspannung
Die reine Scherspannung ist mit der reinen Scherdehnung, bezeichnet mit γ, durch die folgende Gleichung verbunden:
τ = γ G {\displaystyle \tau =\gamma G\,}
wobei G der Schermodul des isotropen Materials ist, gegeben durch
G = E 2 ( 1 + ν ) . {\displaystyle G={\frac {E}{2(1+\nu )}}.
Hier ist E der Elastizitätsmodul und ν die Poissonzahl.
TrägerschubEdit
Trägerschub ist definiert als die innere Schubspannung eines Trägers, die durch die auf den Träger wirkende Querkraft verursacht wird.
τ = f Q I b , {\displaystyle \tau ={fQ \über Ib},}
wobei
f = Gesamtquerkraft an der betrachteten Stelle; Q = statisches Flächenmoment; b = Dicke (Breite) im Material senkrecht zur Scherung; I = Trägheitsmoment der gesamten Querschnittsfläche.
Die Balkenschubformel ist auch als Schuravskii-Schubspannungsformel bekannt, nach Dmitrii Iwanowitsch Schuravskii, der sie 1855 hergeleitet hat.
Schnittscharfe Scherung
Die Schubspannungen innerhalb einer halbschaligen Struktur können berechnet werden, indem der Querschnitt der Struktur in einen Satz von Stringern (die nur Axiallasten tragen) und Stegen (die nur Scherströmungen tragen) idealisiert wird. Dividiert man den Scherfluss durch die Dicke eines bestimmten Abschnitts der Halbschalenstruktur, erhält man die Schubspannung. Somit tritt die maximale Schubspannung entweder im Steg des maximalen Scherflusses oder der minimalen Dicke auf
Auch Konstruktionen im Erdreich können aufgrund von Scherung versagen; z.B., das Gewicht eines erdgefüllten Dammes oder Deiches kann den Untergrund zum Einsturz bringen, ähnlich wie ein kleiner Erdrutsch.
Aufprall-Scherung
Die maximale Schubspannung, die in einem massiven Rundstab bei einem Aufprall entsteht, ergibt sich aus der Gleichung:
τ = 2 U G V , {\displaystyle \tau ={\sqrt {2UG \über V}},}
wobei
U = Änderung der kinetischen Energie; G = Schermodul; V = Volumen des Stabes;
und
U = Urotation + UAnwendung; Urotation = 1/2Iω2; UAnwendung = TθVerschiebung; I = Massenträgheitsmoment; ω = Winkelgeschwindigkeit.
Schubspannung in FluidenBearbeiten
Jedes reale Fluid (Flüssigkeiten und Gase eingeschlossen), das sich entlang einer festen Grenze bewegt, wird an dieser Grenze eine Scherspannung erzeugen. Die Bedingung „kein Schlupf“ besagt, dass die Geschwindigkeit des Fluids an der Grenze (relativ zur Grenze) gleich Null ist; in einiger Höhe von der Grenze muss die Strömungsgeschwindigkeit jedoch gleich der des Fluids sein. Der Bereich zwischen diesen beiden Punkten wird als Grenzschicht bezeichnet. Für alle Newtonschen Flüssigkeiten in laminarer Strömung ist die Schubspannung proportional zur Dehnungsgeschwindigkeit in der Flüssigkeit, wobei die Viskosität die Proportionalitätskonstante ist. Für nicht-newtonsche Fluide ist die Viskosität nicht konstant. Die Schubspannung wird durch diesen Geschwindigkeitsverlust auf die Grenzfläche übertragen.
Für ein Newtonsches Fluid ist die Schubspannung an einem Flächenelement parallel zu einer ebenen Platte im Punkt y gegeben durch:
τ ( y ) = μ ∂ u ∂ y {\displaystyle \tau (y)=\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}
wobei
μ die dynamische Viskosität der Strömung ist; u ist die Strömungsgeschwindigkeit entlang der Grenze; y ist die Höhe über der Grenze.
Spezifisch ist die Wandschubspannung definiert als:
τ w ≡ τ ( y = 0 ) = μ ∂ u ∂ y | y = 0 . τ w }equiv \tau (y=0)=\mu \left.{\frac {\partial u}{\partial y}}\right|_{y=0}~~.}
Das Newtonsche Stoffgesetz besagt für jede allgemeine Geometrie (einschließlich der oben erwähnten flachen Platte), dass der Scherungstensor (ein Tensor zweiter Ordnung) proportional zum Gradienten der Strömungsgeschwindigkeit ist (die Geschwindigkeit ist ein Vektor, also ist ihr Gradient ein Tensor zweiter Ordnung):
τ ( u → ) = μ ∇ u → {\displaystyle \mathbf {\tau } ({\vec {u}})=\mu \nabla {\vec {u}}
und die Proportionalitätskonstante wird als dynamische Viskosität bezeichnet. Für eine isotrope Newtonsche Strömung ist sie ein Skalar, während sie für anisotrope Newtonsche Strömungen auch ein Tensor zweiter Ordnung sein kann. Der grundlegende Aspekt ist, dass für ein Newtonsches Fluid die dynamische Viskosität unabhängig von der Strömungsgeschwindigkeit ist (d. h., das Schubspannungsgesetz ist linear), während für nicht-newtonsche Strömungen dies nicht gilt und man die Modifikation berücksichtigen sollte:
τ ( u → ) = μ ( u → ) ∇ u → {\displaystyle \mathbf {\tau } ({\vec {u}})=\mu ({\vec {u}})\nabla {\vec {u}}
Die obige Formel ist nicht mehr das Newtonsche Gesetz, sondern eine allgemeine tensorielle Identität: Man könnte immer einen Ausdruck für die Viskosität als Funktion der Strömungsgeschwindigkeit finden, wenn man einen beliebigen Ausdruck für die Schubspannung als Funktion der Strömungsgeschwindigkeit hat. Andererseits repräsentiert eine Schubspannung als Funktion der Strömungsgeschwindigkeit nur dann eine Newtonsche Strömung, wenn sie als Konstante für den Gradienten der Strömungsgeschwindigkeit ausgedrückt werden kann. Die Konstante, die man in diesem Fall findet, ist die dynamische Viskosität der Strömung.
BeispielBearbeiten
Betrachten wir einen 2D-Raum in kartesischen Koordinaten (x,y) (die Komponenten der Strömungsgeschwindigkeit sind jeweils (u,v)), so ist die Schubspannungsmatrix gegeben durch:
( τ x x τ x y τ y x τ y y ) = ( x ∂ u ∂ x 0 0 – t ∂ v ∂ y ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\tau _{xx}&\tau _{xy}\\tau _{yx}&\tau _{yy}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x{\frac {\partial u}{\partial x}}&&-t{\frac {\partial v}{\partial y}}\end{pmatrix}}
stellt eine Newtonsche Strömung dar, sie kann in der Tat ausgedrückt werden als:
( τ x x τ x y τ y x τ y y ) = ( x 0 0 – t ) ⋅ ( ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\tau _{xx}&\tau _{xy}\tau _{yx}&\tau _{yy}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x&&-t\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {\partial u}{\partial x}}&{\frac {\partial u}{\partial y}}\{\frac {\partial v}{\partial x}}&{\frac {\partial v}{\partial y}}\end{pmatrix}}
,
i.e., eine anisotrope Strömung mit dem Viskositätstensor:
( μ x x μ x y μ y x μ y y ) = ( x 0 0 – t ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\mu _{xx}&\mu _{xy}\\mu _{yx}&\mu _{yy}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x&&-t}end{pmatrix}}
was ungleichmäßig (abhängig von den Raumkoordinaten) und transient ist, aber relevant ist, dass sie unabhängig von der Strömungsgeschwindigkeit ist:
μ ( x , t ) = ( x 0 0 – t ) {\displaystyle \mathbf {\mu } (x,t)={\begin{pmatrix}x&&-t\end{pmatrix}}}
Diese Strömung ist also newtonsch. Andererseits ist eine Strömung, bei der die Viskosität
( μ x x μ x y μ y x μ y y ) = ( 1 u 0 0 1 u ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\mu _{xx}&\mu _{xy}\\mu _{yx}&\mu _{yy}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{u}}&&{\frac {1}{u}}\end{pmatrix}}}
