Aplicações de experiências de probabilidade simples
O ingrediente fundamental da teoria da probabilidade é uma experiência que pode ser repetida, pelo menos hipoteticamente, em condições essencialmente idênticas e que pode levar a resultados diferentes em experiências diferentes. O conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência é chamado de “espaço de amostra”. A experiência de atirar uma vez uma moeda resulta num espaço de amostra com dois resultados possíveis, “cabeças” e “caudas”. Atirar dois dados tem um espaço de amostra com 36 resultados possíveis, cada um dos quais pode ser identificado com um par ordenado (i, j), onde i e j assumem um dos valores 1, 2, 3, 4, 5, 6 e denotam as faces que aparecem nos dados individuais. É importante pensar nos dados como identificáveis (digamos por uma diferença de cor), para que o resultado (1, 2) seja diferente de (2, 1). Um “evento” é um subconjunto bem definido do espaço da amostra. Por exemplo, o evento “a soma das faces que aparecem nos dois dados é igual a seis” consiste nos cinco resultados (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), e (5, 1).
Encyclopædia Britannica, Inc.
Um terceiro exemplo é tirar n bolas de uma urna contendo bolas de várias cores. Um resultado genérico desta experiência é um n-tuplo, em que a entrada ith especifica a cor da bola obtida no ith draw (i = 1, 2,…, n). Apesar da simplicidade desta experiência, um entendimento profundo dá a base teórica para sondagens de opinião e inquéritos por amostragem. Por exemplo, os indivíduos de uma população que favorecem um determinado candidato numa eleição podem ser identificados com bolas de uma determinada cor, os que favorecem um candidato diferente podem ser identificados com uma cor diferente, e assim por diante. A teoria da probabilidade fornece a base para aprender sobre o conteúdo da urna a partir da amostra de bolas retiradas da urna; uma aplicação é aprender sobre as preferências eleitorais de uma população com base numa amostra retirada dessa população.
Uma outra aplicação de modelos simples de urna é utilizar ensaios clínicos concebidos para determinar se um novo tratamento para uma doença, um novo medicamento, ou um novo procedimento cirúrgico é melhor do que um tratamento padrão. No caso simples em que o tratamento pode ser considerado como sucesso ou fracasso, o objectivo do ensaio clínico é descobrir se o novo tratamento conduz mais frequentemente ao sucesso do que o tratamento padrão. Os pacientes com a doença podem ser identificados com bolas numa urna. As bolas vermelhas são os pacientes que estão curados pelo novo tratamento, e as bolas pretas são os que não estão curados. Normalmente existe um grupo de controlo, que recebe o tratamento padrão. São representadas por uma segunda urna com uma fracção possivelmente diferente de bolas vermelhas. O objectivo da experiência de retirar algum número de bolas de cada urna é descobrir, com base na amostra, qual urna tem a maior fracção de bolas vermelhas. Uma variação desta ideia pode ser utilizada para testar a eficácia de uma nova vacina. Talvez o maior e mais famoso exemplo tenha sido o teste da vacina Salk para a poliomielite, realizado em 1954. Foi organizado pelo Serviço de Saúde Pública dos Estados Unidos e envolveu quase dois milhões de crianças. O seu sucesso levou à eliminação quase completa da poliomielite como um problema de saúde nas partes industrializadas do mundo. A rigor, estas aplicações são problemas de estatística, para os quais as bases são fornecidas pela teoria da probabilidade.
Em contraste com as experiências descritas acima, muitas experiências têm infinitos resultados possíveis. Por exemplo, pode-se atirar uma moeda ao ar até que “cabeças” apareçam pela primeira vez. O número de possíveis atiramentos é n = 1, 2,…. Outro exemplo é rodar uma roda giratória. Para uma fieira idealizada feita a partir de um segmento de linha recta sem largura e pivotada no seu centro, o conjunto de resultados possíveis é o conjunto de todos os ângulos que a posição final da fieira faz com alguma direcção fixa, equivalente a todos os números reais em [0, 2π). Muitas medições nas ciências naturais e sociais, tais como volume, tensão, temperatura, tempo de reacção, rendimento marginal, etc., são feitas em escalas contínuas e, pelo menos em teoria, envolvem infinitamente muitos valores possíveis. Se as medições repetidas sobre diferentes assuntos ou em momentos diferentes sobre o mesmo assunto podem levar a resultados diferentes, a teoria da probabilidade é uma ferramenta possível para estudar esta variabilidade.
Por causa da sua simplicidade comparativa, as experiências com espaços de amostra finitos são discutidas primeiro. No desenvolvimento inicial da teoria da probabilidade, os matemáticos consideraram apenas as experiências para as quais parecia razoável, com base em considerações de simetria, supor que todos os resultados da experiência eram “igualmente prováveis”. Depois, num grande número de experiências, todos os resultados deveriam ocorrer com aproximadamente a mesma frequência. A probabilidade de um evento é definida como a relação entre o número de casos favoráveis ao evento – ou seja, o número de resultados no subconjunto do espaço da amostra que define o evento – e o número total de casos. Assim, os 36 resultados possíveis no lançamento de dois dados são assumidos como igualmente prováveis, e a probabilidade de obter “seis” é o número de casos favoráveis, 5, dividido por 36, ou 5/36.
Agora suponha que uma moeda é lançada n vezes, e considere a probabilidade do evento “as cabeças não ocorrem” nos n lançamentos. Um resultado da experiência é um n-tuplo, cuja kth entrada identifica o resultado do kth arremesso. Uma vez que existem dois resultados possíveis para cada arremesso, o número de elementos no espaço da amostra é de 2n. Destes, apenas um resultado corresponde a não ter cabeças, pelo que a probabilidade requerida é 1/2n.
É apenas ligeiramente mais difícil determinar a probabilidade de “no máximo uma cabeça”. Para além do único caso em que não ocorre nenhuma cabeça, há n casos em que ocorre exactamente uma cabeça, porque pode ocorrer no primeiro, segundo,…, ou nth toss. Assim, há n + 1 casos favoráveis à obtenção no máximo de uma cabeça, e a probabilidade desejada é (n + 1)/2n.