A relação entre o espaçamento da grelha e os ângulos do incidente e os feixes de luz difratada é conhecida como a equação da grelha. De acordo com o princípio Huygens-Fresnel, cada ponto na frente de onda de uma onda propagadora pode ser considerado como uma fonte pontual, e a frente de onda em qualquer ponto subsequente pode ser encontrada somando as contribuições de cada uma destas fontes pontuais individuais. As grelhas podem ser do tipo ‘reflexivo’ ou ‘transmissivo’, análogas a um espelho ou a uma lente, respectivamente. Uma grelha tem um ‘modo de ordem zero’ (onde m = 0), no qual não há difracção e um raio de luz comporta-se de acordo com as leis de reflexão e refracção o mesmo que com um espelho ou lente, respectivamente.
Uma grelha idealizada é constituída por um conjunto de fendas de espaçamento d, que deve ser mais largo do que o comprimento de onda de interesse para causar difracção. Assumindo uma onda plana de luz monocromática de comprimento de onda λ com incidência normal (perpendicular à grelha), cada fenda na grelha actua como uma quase-fonte de ponto de onde a luz se propaga em todas as direcções (embora isto seja tipicamente limitado a um hemisfério). Após a luz interagir com a grelha, a luz difratada é composta pela soma dos componentes de ondas interferentes que emanam de cada fenda da grelha. Em qualquer ponto do espaço através do qual a luz difracta pode passar, o comprimento do caminho até cada fenda da grelha varia. Uma vez que o comprimento do caminho varia, geralmente, o mesmo acontece com as fases das ondas nesse ponto a partir de cada uma das fendas. Assim, adicionam-se ou subtraem-se umas às outras para criar picos e vales através de interferências aditivas e destrutivas. Quando a diferença do caminho entre a luz das fendas adjacentes é igual a metade do comprimento de onda, λ/2, as ondas estão fora de fase, e assim cancelam-se umas às outras para criar pontos de intensidade mínima. Da mesma forma, quando a diferença de trajecto é λ, as fases somam-se e ocorrem os máximos. Para um incidente de feixe normalmente numa grelha, os máximos ocorrem em ângulos θm, que satisfazem a relação d sinθm/λ = | m |, onde θm é o ângulo entre o raio difratado e o vector normal da grelha, e d é a distância do centro de uma fenda ao centro da fenda adjacente, e m é um número inteiro representando o modo de propagação de interesse.
Assim, quando a luz é normalmente incidente na grelha, a luz difratada tem máximos em ângulos θm dado por:
d sin θ m = m λ . d=m=m=lambda.}
Pode ser mostrado que se uma onda plana é incidente em qualquer ângulo arbitrário θi, a equação da grade torna-se:
d ( sin θ i – sin θ m ) = m λ . d(s in theta _i}– sin theta _m})=mlambda .}
Quando resolvido para os máximos de ângulo difratado, a equação é:
θ m = arcsin ( sin θ i – m λ d ) . estilo de jogo _m=arcsin _m=arcsin _m=esquerda(sina _i}–frata-mmm=lambda_direita){d}!
p>Por favor note que estas equações assumem que ambos os lados da grelha estão em contacto com o mesmo meio (e.A luz que corresponde à transmissão directa (ou reflexão especular no caso de uma grelha de reflexão) é chamada de ordem zero, e é denotada m = 0. Os outros máximos ocorrem em ângulos representados por inteiros não nulos m. Note-se que m pode ser positivo ou negativo, resultando em ordens difraídas em ambos os lados do feixe de ordem zero.
Esta derivação da equação da grelha é baseada numa grelha idealizada. No entanto, a relação entre os ângulos dos feixes difratados, o espaçamento da grelha e o comprimento de onda da luz aplica-se a qualquer estrutura regular do mesmo espaçamento, porque a relação de fase entre a luz espalhada a partir de elementos adjacentes da grelha permanece a mesma. A distribuição detalhada da luz difratada depende da estrutura detalhada dos elementos da grelha, bem como do número de elementos da grelha, mas dá sempre os máximos nas direcções dadas pela equação da grelha.
podem ser feitas grelhas nas quais várias propriedades da luz incidente são moduladas num padrão periódico; estas incluem
- transparência (grelhas de difracção de amplitude de transmissão);
- reflectância (grelhas de difracção de amplitude de reflexão);
- índice de refracção ou comprimento do percurso óptico (grelhas de difracção de fase);
- direcção do eixo óptico (grelhas de difracção de eixo óptico).
A equação da grelha aplica-se em todos estes casos.
Electrodinâmica QuânticaEdit
Electrodinâmica quântica (QED) oferece outra derivação das propriedades de uma grade de difracção em termos de fótons como partículas (a algum nível). A QED pode ser descrita intuitivamente com a formulação integral do caminho da mecânica quântica. Como tal, pode modelar fótons como potencialmente seguindo todos os caminhos desde uma fonte até um ponto final, cada caminho com uma certa amplitude de probabilidade. Estas amplitudes de probabilidade podem ser representadas como um número complexo ou vector equivalente – ou, como Richard Feynman simplesmente lhes chama no seu livro sobre QED, “setas”.
Para a probabilidade de um determinado evento acontecer, somam-se as amplitudes de probabilidade para todas as formas possíveis em que o evento pode ocorrer, e depois toma-se o quadrado do comprimento do resultado. A amplitude da probabilidade de um fotão de uma fonte monocromática chegar a um determinado ponto final num determinado momento, neste caso, pode ser modelada como uma seta que gira rapidamente até ser avaliada quando o fotão atinge o seu ponto final. Por exemplo, para a probabilidade de um fotão reflectir de um espelho e ser observado num determinado ponto num determinado período de tempo mais tarde, define-se a amplitude da probabilidade do fotão rodar à medida que sai da fonte, segue-o até ao espelho, e depois até ao seu ponto final, mesmo para caminhos que não envolvam saltar do espelho em ângulos iguais. Pode-se então avaliar a amplitude da probabilidade no ponto final do fotão; a seguir, pode-se integrar sobre todas estas setas (ver soma vectorial), e ajustar o comprimento do resultado para obter a probabilidade de este fotão reflectir do espelho da forma pertinente. Os tempos que estes caminhos levam são os que determinam o ângulo da seta de amplitude da probabilidade, uma vez que se pode dizer que “rodam” a um ritmo constante (que está relacionado com a frequência do fotão).
Os tempos dos caminhos próximos do local de reflexão clássico do espelho são quase os mesmos, pelo que as amplitudes da probabilidade apontam quase na mesma direcção – assim, eles têm uma soma considerável. O exame dos caminhos em direcção às margens do espelho revela que os tempos dos caminhos próximos são bastante diferentes uns dos outros, e assim acabamos por somar vectores que se anulam rapidamente. Assim, existe uma maior probabilidade de a luz seguir um caminho de reflexão quase clássico do que um caminho mais distante. Contudo, uma grade de difracção pode ser feita a partir deste espelho, raspando áreas próximas da borda do espelho que normalmente cancelam as amplitudes próximas – mas agora, uma vez que os fotões não reflectem a partir das porções raspadas, as amplitudes probabilísticas que apontariam todas, por exemplo, a quarenta e cinco graus, podem ter uma soma considerável. Assim, isto permite que a luz da soma de frequência certa atinja uma maior amplitude de probabilidade, e como tal possuir uma maior probabilidade de atingir o ponto final apropriado.
Esta descrição particular envolve muitas simplificações: uma fonte pontual, uma “superfície” de que a luz pode reflectir fora (negligenciando assim as interacções com os electrões) e assim por diante. A maior simplificação está talvez no facto de que a “rotação” das setas de amplitude de probabilidade é na realidade explicada com mais precisão como uma “rotação” da fonte, uma vez que as amplitudes de probabilidade dos fótons não “rodam” enquanto estão em trânsito. Obtemos a mesma variação nas amplitudes de probabilidade deixando indeterminado o tempo em que o fotão deixou a fonte – e o tempo do caminho diz-nos agora quando o fotão teria deixado a fonte, e assim qual seria o ângulo da sua “flecha”. Contudo, este modelo e aproximação é um modelo razoável para ilustrar conceptualmente uma grade de difracção. A luz de uma frequência diferente pode também reflectir a mesma grelha de difracção, mas com um ponto final diferente.