1.5: Incerteza na Medição

Números Significativos

Nenhuma medição está isenta de erros. O erro é introduzido pelas limitações dos instrumentos e dispositivos de medição (tais como o tamanho das divisões num cilindro graduado) e pela imperfeição dos sentidos humanos (ou seja, detecção). Embora os erros nos cálculos possam ser enormes, não contribuem para a incerteza nas medições. Os químicos descrevem o grau estimado de erro numa medição como a incerteza da medição, e têm o cuidado de comunicar todos os valores medidos utilizando apenas valores significativos, números que descrevem o valor sem exagerar o grau em que se sabe que é exacto. Os químicos reportam como significativos todos os números conhecidos com absoluta certeza, mais um dígito que se entende conter alguma incerteza. A incerteza no dígito final é geralmente assumida como ±1, salvo indicação em contrário.

As seguintes regras foram desenvolvidas para a contagem do número de números significativos numa medição ou cálculo:

1. Um dígito diferente de zero é significativo.
2. Any zeros entre dígitos diferentes de zero são significativos. O número de 2005, por exemplo, tem quatro algarismos significativos.
3. Any zeros utilizados como um espaço reservado antes do primeiro algarismo não nulo não são significativos. Assim, 0,05 tem um número significativo porque os zeros são utilizados para indicar a colocação do algarismo 5. Em contraste, 0,050 tem dois algarismos significativos porque os dois últimos dígitos correspondem ao número 50; o último zero não é um espaço reservado. Como exemplo adicional, 5,0 tem dois algarismos significativos porque o zero é utilizado não para colocar o 5 mas para indicar 5,0,
4. Quando um número não contém um ponto decimal, os zeros adicionados após um número diferente de zero podem ou não ser significativos. Um exemplo é o número 100, que pode ser interpretado como tendo um, dois, ou três números significativos. (Nota: tratar todos os zeros traiçoeiros em exercícios e problemas neste texto como significativos, a menos que se diga especificamente o contrário.)

Integers obtained either by counting objects or from definitions are exact numbers, which are considered to have infinitely many significant figures. Se tivermos contado quatro objectos, por exemplo, então o número 4 tem um número infinito de números significativos (ou seja, representa 4.000…). Da mesma forma, 1 pé (ft) é definido para conter 12 polegadas (in), pelo que o número 12 na equação seguinte tem infinitamente muitos algarismos significativos:

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Um método eficaz para determinar o número de algarismos significativos é converter o valor medido ou calculado em notação científica, porque qualquer zero utilizado como um lugar reservado é eliminado na conversão. Quando 0,0800 é expresso em notação científica como 8,00 × 10-2, é mais facilmente aparente que o número tem três números significativos em vez de cinco; na notação científica, o número que precede o exponencial (ou seja, N) determina o número de números significativos.

Exemplo \(\PageIndex{4})

p>Que aparelho de medição utilizaria para fornecer 9,7 mL de água com a maior precisão possível? A quantos números significativos pode medir esse volume de água com o aparelho que seleccionou?

Resposta

Utilizar o cilindro graduado de 10 mL, que será preciso para dois números significativos.

Operações matemáticas são realizadas utilizando todos os dígitos dados e arredondando depois o resultado final para o número correcto de números significativos para obter uma resposta razoável. Este método evita o agravamento de imprecisões ao arredondar sucessivamente os cálculos intermédios. Após completar um cálculo, poderá ter de arredondar o último algarismo significativo para cima ou para baixo, dependendo do valor do algarismo que o segue. Se o algarismo for 5 ou superior, então o número é arredondado para cima. Por exemplo, quando arredondado para três algarismos significativos, 5,215 é 5,22, enquanto que 5,213 é 5,21. Da mesma forma, para três algarismos significativos, 5,005 kg torna-se 5,01 kg, enquanto que 5,004 kg torna-se 5,00 kg. Os procedimentos para lidar com números significativos são diferentes para adição e subtracção versus multiplicação e divisão.

Quando adicionamos ou subtraímos valores medidos, o valor com menos números significativos à direita do ponto decimal determina o número de números significativos à direita do ponto decimal na resposta. Desenhar uma linha vertical à direita da coluna correspondente ao menor número de algarismos significativos é um método simples de determinar o número adequado de algarismos significativos para a resposta:

A linha indica que os dígitos 3 e 6 não são significativos na resposta. Estes dígitos não são significativos porque os valores para os lugares correspondentes na outra medição são desconhecidos (3240,7??). Consequentemente, a resposta é expressa como 3261,9, com cinco algarismos significativos. Mais uma vez, números maiores ou iguais a 5 são arredondados para cima. Se o nosso segundo número no cálculo tivesse sido 21,256, então teríamos arredondado 3261,956 para 3262,0 para completar o nosso cálculo.

Quando multiplicamos ou dividimos valores medidos, a resposta é limitada ao menor número de números significativos no cálculo; assim, 42,9 × 8,323 = 357,057 = 357. Embora o segundo número no cálculo tenha quatro algarismos significativos, justifica-se que a resposta seja dada apenas a três algarismos significativos, porque o primeiro número no cálculo tem apenas três algarismos significativos. Uma excepção a esta regra ocorre quando se multiplica um número por um número inteiro, como em 12,793 × 12. Neste caso, o número de algarismos significativos na resposta é determinado pelo número 12.973, porque, na essência, estamos a adicionar 12.973 a si próprios 12 vezes. A resposta correcta é portanto 155.516, um aumento de um número significativo, não 155.52.

Quando se usa uma calculadora, é importante lembrar que o número mostrado na visualização da calculadora mostra frequentemente mais dígitos do que pode ser relatado como significativo na sua resposta. Quando uma medida indicada como 5,0 kg é dividida por 3,0 L, por exemplo, a visualização pode mostrar 1,666666667 como a resposta. Justifica-se que a resposta seja reportada apenas a dois dígitos significativos, dando 1,7 kg/L como resposta, com o último dígito entendido como tendo alguma incerteza.

Nos cálculos que envolvem várias etapas, podem ser obtidas respostas ligeiramente diferentes dependendo da forma como o arredondamento é tratado, especificamente se o arredondamento é realizado com resultados intermédios ou adiado para a última etapa. O arredondamento para o número correcto de números significativos deve ser sempre efectuado no final de uma série de cálculos, porque o arredondamento dos resultados intermédios pode, por vezes, fazer com que a resposta final esteja significativamente errada.

Na prática, os químicos geralmente trabalham com uma calculadora e levam todos os dígitos para a frente através de cálculos subsequentes. Ao trabalhar em papel, contudo, queremos muitas vezes minimizar o número de dígitos que temos de escrever. Uma vez que os arredondamentos sucessivos podem compor imprecisões, os arredondamentos intermédios têm de ser tratados correctamente. Ao trabalhar em papel, arredondar sempre um resultado intermédio de modo a reter pelo menos um dígito a mais do que pode ser justificado e levar este número para a etapa seguinte do cálculo. A resposta final é então arredondada para o número correcto de números significativos no final.

Nos exemplos trabalhados neste texto, mostraremos frequentemente os resultados das etapas intermédias num cálculo. Ao fazê-lo, mostraremos os resultados apenas ao número correcto de números significativos permitidos para essa etapa, tratando de facto cada etapa como um cálculo separado. Este procedimento destina-se a reforçar as regras para determinar o número de números significativos, mas em alguns casos pode dar uma resposta final que difere no último dígito do obtido utilizando uma calculadora, onde todos os dígitos são levados até à última etapa.