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Secção 7-1 : Sistemas lineares com duas variáveis
Um sistema linear de duas equações com duas variáveis é qualquer sistema que possa ser escrito na forma.
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onde qualquer uma das constantes pode ser zero com a excepção de que cada equação tem de ter pelo menos uma variável nela.
Também, o sistema é chamado linear se as variáveis estiverem apenas na primeira potência, estiverem apenas no numerador e não houver produtos de variáveis em qualquer uma das equações.
Aqui está um exemplo de um sistema com números.
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Antes de discutirmos como resolver sistemas devemos primeiro falar sobre o que é uma solução para um sistema de equações. Uma solução para um sistema de equações é um valor de \(x) e um valor de \(y) que, quando substituído nas equações, satisfaz ambas as equações ao mesmo tempo.
Para o exemplo acima \(x = 2\) e \(y = – 1\) é uma solução para o sistema. Isto é suficientemente fácil de verificar.
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Então, com a certeza de que o par de números é uma solução para o sistema. Não se preocupe com a forma como obtivemos estes valores. Este será o primeiro sistema que resolveremos quando entrarmos em exemplos.
Nota que é importante que o par de números satisfaça ambas as equações. Por exemplo, \(x = 1\) e \(y = – 4\) satisfarão a primeira equação, mas não a segunda e, portanto, não é uma solução para o sistema. Da mesma forma, \(x = – 1\) e \(y = 1\) satisfarão a segunda equação, mas não a primeira e, portanto, não pode ser uma solução para o sistema.
Agora, o que representa uma solução para um sistema de duas equações? Bem, se pensarmos nisso, ambas as equações do sistema são linhas. Portanto, vamos grafá-las e ver o que obtemos.
Como se pode ver, a solução para o sistema são as coordenadas do ponto onde as duas linhas se cruzam. Assim, ao resolver sistemas lineares com duas variáveis, estamos realmente a perguntar onde as duas linhas se irão intersectar.
Estaremos a analisar dois métodos para resolver sistemas nesta secção.
O primeiro método chama-se método de substituição. Neste método vamos resolver uma das equações para uma das variáveis e substituí-la na outra equação. Isto produzirá uma equação com uma variável que podemos resolver. Uma vez resolvido, substituímos este valor novamente numa das equações para encontrar o valor da variável restante.
Em palavras, este método nem sempre é muito claro. Vamos trabalhar alguns exemplos para ver como este método funciona.
- (\begin{align*}3x – y & = 7\\\\ 2x + 3y & = 1\end{align*})
(\begin{align*}5x + 4y & = 1\\ 3x – 6y & = 2\\i>/li>/ol> Show All Solutions Hide All Solutions
Então, este foi o primeiro sistema que analisámos acima. Já conhecemos a solução, mas isto dar-nos-á uma oportunidade de verificar os valores que escrevemos para a solução.
Agora, o método diz que precisamos de resolver uma das equações para uma das variáveis. Qual a equação que escolhemos e qual a variável que escolhemos, mas normalmente é melhor escolher uma equação e variável que seja fácil de lidar. Isto significa que devemos tentar evitar fracções se possível.
Neste caso, parece que será realmente fácil resolver a primeira equação para \(y\), por isso vamos fazer isso.
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Agora, substitua isto pela segunda equação.Esta é uma equação em que podemos resolver, por isso vamos fazer isso.
p>P>Então, há a parte da solução.p>P>Finalmente, não se esqueça de voltar atrás e encontrar a parte da solução. Este é um dos erros mais comuns que os estudantes cometem na resolução de sistemas. Para tal, podemos ou ligar o valor {\i1}(x) a uma das equações originais e resolver para {\i} ou podemos simplesmente ligá-lo à nossa substituição que encontrámos no primeiro passo. Isso será mais fácil, por isso vamos fazer isso. {\i}
Então, a solução é \i(x = 2\i) e \i(y = – 1\i) como notámos acima.
b {begin{align*}5x + 4y & = 1\\ 3x – 6y & = 2\end{align*}) Mostrar Solução
Com este sistema não vamos conseguir evitar completamente as fracções. No entanto, parece que se resolvermos a segunda equação para {\i}(x\i}), podemos minimizá-las. Aqui está esse trabalho.
Agora, substitua isto na primeira equação e resolva a equação resultante para \\(y\).
Finalmente, substitua isto na substituição original para encontrar \(x\).
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Assim, a solução para este sistema é \(x = \frac{1}{3}) e \(y = – \frac{1}{6}).
Como com equações únicas podemos sempre voltar atrás e verificar esta solução ligando-a a ambas as equações e certificando-nos de que satisfaz ambas as equações. Note-se também que precisaríamos realmente de nos ligar a ambas as equações. É bem possível que um erro pudesse resultar num par de números que satisfizesse uma das equações mas não a outra.
Vamos agora avançar para o próximo método de resolução de sistemas de equações. Como vimos na última parte do exemplo anterior, o método de substituição irá muitas vezes obrigar-nos a lidar com fracções, o que aumenta a probabilidade de erros. Este segundo método não terá este problema. Isso não é completamente verdade. Se as fracções vão aparecer, elas só aparecerão na etapa final e só aparecerão se a solução contiver fracções.
Este segundo método chama-se o método de eliminação. Neste método multiplicamos uma ou ambas as equações por números apropriados (ou seja, multiplicamos cada termo da equação pelo número) de modo a que uma das variáveis tenha o mesmo coeficiente com sinais opostos. O passo seguinte é adicionar as duas equações em conjunto. Como uma das variáveis tinha o mesmo coeficiente com sinais opostos, será eliminada quando adicionarmos as duas equações. O resultado será uma única equação que podemos resolver para uma das variáveis. Uma vez feito isto, substituir esta resposta numa das equações originais.
Como com o primeiro método é muito mais fácil ver o que se passa aqui com alguns exemplos.
- (\begin{align*}5x + 4y & = 1\\\ 3x – 6y & = 2\end{align*})
(\begin{align*}2x + 4y & = – 10\\\\ 6x + 3y & = 6\end{align*})/ol> Show All Solutions Hide All Solutions
Este é o sistema do conjunto anterior de exemplos que nos fez trabalhar com fracções. Trabalhando-o aqui mostrará as diferenças entre os dois métodos e mostrará também que qualquer um dos métodos pode ser utilizado para levar a solução a um sistema.
Por isso, precisamos de multiplicar uma ou ambas as equações por constantes de modo a que uma das variáveis tenha o mesmo coeficiente com sinais opostos. Assim, uma vez que os termos {\i}já têm sinais opostos, vamos trabalhar com estes termos. Parece que se multiplicarmos a primeira equação por 3 e a segunda por 2 os termos \i(y) terão coeficientes de 12 e -12, que é o que precisamos para este método.
Aqui está o trabalho para este passo.
\i>p>Então, como a descrição do método prometido, temos uma equação que pode ser resolvida para \i(x). Fazendo isto, \(x = \frac{1}{3}) que é exactamente o que encontramos no exemplo anterior. Note-se, contudo, que a única fracção com que tivemos de lidar até este ponto é a própria resposta, que é diferente do método de substituição.
Agora, não se esqueça de encontrar {\i}(y}). Neste caso, será um pouco mais de trabalho do que o método de substituição. Para encontrarmos o valor de {\i1}(y), precisamos de substituir o valor de {\i}(x) em qualquer uma das equações originais e resolver para {\i}(y). Uma vez que a fração (x) é uma fração, vamos notar que, neste caso, se ligarmos este valor à segunda equação, perderemos as fracções pelo menos temporariamente. Note-se que muitas vezes isto não acontecerá e seremos forçados a lidar com fracções quer queiramos quer não.
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Ganhar, este é o mesmo valor que encontrámos no exemplo anterior.
b {begin{align*}2x + 4y & = – 10\\\\ 6x + 3y & = 6\end{align*}) Mostrar Solução
Nesta parte todas as variáveis são positivas, por isso vamos ter de forçar um sinal oposto multiplicando por um número negativo algures. Note-se também que neste caso, se apenas multiplicarmos a primeira equação por -3, então os coeficientes do \(x\) serão -6 e 6,
p>Por vezes só precisamos de multiplicar uma das equações e podemos deixar a outra em paz. Aqui está este trabalho para esta parte.
Finalmente, ligar isto a qualquer uma das equações e resolver para \(x\). Usaremos a primeira equação desta vez.
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Então, a solução para este sistema é \(x = 3\) e \(y = – 4\).
Existe um terceiro método que vamos analisar para resolver sistemas de duas equações, mas é um pouco mais complicado e provavelmente mais útil para sistemas com pelo menos três equações, pelo que o analisaremos numa secção posterior.
Antes de sair desta secção devemos abordar um par de casos especiais na resolução de sistemas.
Podemos usar qualquer um dos métodos aqui, mas parece que a substituição seria provavelmente um pouco mais fácil. Resolveremos a primeira equação para \(x\) e substituiremos essa na segunda equação.
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Por isso, isto não é claramente verdade e não parece haver um erro em qualquer parte do nosso trabalho. Então, qual é o problema? Para ver o gráfico destas duas linhas e ver o que obtemos.
Parece que estas duas linhas são paralelas (pode verificar isso com as inclinações?) e sabemos que duas linhas paralelas com diferentes \(y\)-intercepções (isso é importante) nunca se cruzarão.
Como vimos na discussão inicial desta secção, as soluções representam o ponto onde duas linhas se cruzam. Se duas linhas não se cruzarem, não podemos ter uma solução.
Então, quando obtemos este tipo de resposta absurda do nosso trabalho, temos duas linhas paralelas e não há solução para este sistema de equações.
O sistema do exemplo anterior chama-se inconsistente. Note-se também que se tivéssemos usado a eliminação neste sistema teríamos acabado com uma resposta semelhante sem sentido.
Neste exemplo parece que a eliminação seria o método mais fácil.
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À primeira vista isto pode parecer ser o mesmo problema que o exemplo anterior. Contudo, nesse caso, acabámos por ter uma igualdade que simplesmente não era verdadeira. Neste caso temos 0=0 e isso é uma verdadeira igualdade e por isso nesse sentido não há nada de errado com isto.
No entanto, isto não é claramente o que estávamos à espera de uma resposta aqui e por isso precisamos de determinar exactamente o que se passa.
Deixaremos que verifique isto, mas se encontrar a inclinação e os {\i1}interceitos para estas duas linhas, verá que ambas as linhas têm exactamente a mesma inclinação e ambas as linhas têm exactamente o mesmo {\i}interceito. Então, o que é que isto significa para nós? Bem, se duas linhas têm a mesma inclinação e a mesma interpretação, então os gráficos das duas linhas são o mesmo gráfico. Por outras palavras, os gráficos destas duas linhas são o mesmo gráfico. Nestes casos, qualquer conjunto de pontos que satisfaça uma das equações também satisfará a outra equação.
Também, recorde-se que o gráfico de uma equação nada mais é do que o conjunto de todos os pontos que satisfazem a equação. Por outras palavras, existe um conjunto infinito de pontos que satisfará este conjunto de equações.
Nestes casos, queremos escrever algo para uma solução. Assim, o que vamos fazer é resolver uma das equações para uma das variáveis (não importa qual a sua escolha). Resolveremos a primeira para \\(y\).
p> Então, dado qualquer \(x\) podemos encontrar uma \(y\) e estes dois números formarão uma solução para o sistema de equações. Normalmente, denota-se isto escrevendo a solução da seguinte forma,p>Para mostrar que estes dão soluções vamos trabalhar através de um par de valores de {\i1}(t).
(t = 0\)
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Para mostrar que esta é uma solução precisamos de a ligar a ambas as equações no sistema,
Assim, \(x = 0\) e \(y = – \frac{1}{5}) é uma solução para o sistema. Façamos outra muito rápida.
(t = – 3\)
p>P>Precisamos de a ligar às duas equações do sistema para mostrar que é uma solução.
P>Seguramente \(x = – 3\) e \(y = 1\) é uma solução.
Assim, uma vez que há um número infinito de possíveis \(t\), deve haver um número infinito de soluções para este sistema e elas são dadas por,
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Sistemas como os dos exemplos anteriores são chamados dependentes.
Vimos agora as três possibilidades para a solução de um sistema de equações. Um sistema de equações ou não terá solução, exactamente uma solução ou infinitamente muitas soluções.