Zastosowanie prostych eksperymentów prawdopodobieństwa
Podstawowym składnikiem teorii prawdopodobieństwa jest eksperyment, który może być powtórzony, przynajmniej hipotetycznie, w zasadniczo identycznych warunkach i który może prowadzić do różnych wyników w różnych próbach. Zbiór wszystkich możliwych wyników eksperymentu nazywany jest „przestrzenią prób”. Eksperyment polegający na jednokrotnym rzucie monetą daje przestrzeń prób z dwoma możliwymi wynikami, „reszka” i „główka”. Rzucanie dwiema kostkami do gry daje przestrzeń prób z 36 możliwymi wynikami, z których każdy może być identyfikowany z uporządkowaną parą (i, j), gdzie i oraz j przyjmują jedną z wartości 1, 2, 3, 4, 5, 6 i oznaczają twarze pokazane na poszczególnych kostkach. Ważne jest, aby myśleć o kostkach jako identyfikowalnych (np. przez różnicę w kolorze), tak aby wynik (1, 2) był różny od (2, 1). Zdarzenie” jest dobrze zdefiniowanym podzbiorem przestrzeni próbek. Na przykład, zdarzenie „suma oczek na dwóch kostkach jest równa sześć” składa się z pięciu wyników (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) i (5, 1).
Encyclopædia Britannica, Inc.
Trzeci przykład polega na wylosowaniu n kul z urny zawierającej kule o różnych kolorach. Ogólnym wynikiem tego eksperymentu jest n-tuple, gdzie i-ty wpis określa kolor kuli otrzymanej przy i-tym losowaniu (i = 1, 2,…, n). Pomimo prostoty tego eksperymentu, jego dokładne zrozumienie daje teoretyczne podstawy dla badań opinii publicznej i badań reprezentacyjnych. Na przykład, osoby w populacji popierające danego kandydata w wyborach mogą być identyfikowane z kulkami danego koloru, osoby popierające innego kandydata mogą być identyfikowane z kulkami innego koloru, itd. Teoria prawdopodobieństwa dostarcza podstaw do nauki o zawartości urny na podstawie próbki kul wylosowanych z urny; zastosowaniem jest nauka o preferencjach wyborczych populacji na podstawie próbki wylosowanej z tej populacji.
Innym zastosowaniem prostych modeli urn jest wykorzystanie badań klinicznych zaprojektowanych w celu określenia, czy nowe leczenie choroby, nowy lek lub nowa procedura chirurgiczna jest lepsza niż standardowe leczenie. W prostym przypadku, w którym leczenie może być postrzegane jako sukces lub porażka, celem badania klinicznego jest odkrycie, czy nowe leczenie częściej prowadzi do sukcesu niż leczenie standardowe. Pacjenci z chorobą mogą być identyfikowani z kulami w urnie. Czerwone kule to ci pacjenci, którzy zostali wyleczeni przez nowe leczenie, a czarne kule to ci, którzy nie zostali wyleczeni. Zazwyczaj istnieje grupa kontrolna, która otrzymuje standardowe leczenie. Są oni reprezentowani przez drugą urnę z możliwie inną frakcją kul czerwonych. Celem eksperymentu polegającego na wylosowaniu pewnej liczby kul z każdej urny jest odkrycie na podstawie próby, która urna ma większą frakcję kul czerwonych. Wariacja tego pomysłu może być użyta do testowania skuteczności nowej szczepionki. Prawdopodobnie największym i najbardziej znanym przykładem był test szczepionki Salka na poliomyelitis przeprowadzony w 1954 roku. Został on zorganizowany przez U.S. Public Health Service i objął prawie dwa miliony dzieci. Jego sukces doprowadził do prawie całkowitego wyeliminowania polio jako problemu zdrowotnego w uprzemysłowionych częściach świata. Ściśle rzecz biorąc, te zastosowania są problemami statystyki, dla których podstaw dostarcza teoria prawdopodobieństwa.
W przeciwieństwie do eksperymentów opisanych powyżej, wiele eksperymentów ma nieskończenie wiele możliwych wyników. Na przykład, można rzucać monetą tak długo, aż po raz pierwszy pojawi się „reszka”. Liczba możliwych rzutów wynosi n = 1, 2,…. Innym przykładem jest kręcenie bączkiem. Dla wyidealizowanej bączka wykonanego z prostego odcinka bez szerokości i obróconego w jego środku, zbiór możliwych wyników jest zbiorem wszystkich kątów, jakie końcowa pozycja bączka tworzy z pewnym ustalonym kierunkiem, czyli wszystkich liczb rzeczywistych w [0, 2π]. Wiele pomiarów w naukach przyrodniczych i społecznych, takich jak objętość, napięcie, temperatura, czas reakcji, dochód krańcowy i tak dalej, dokonywanych jest na skalach ciągłych i przynajmniej w teorii obejmuje nieskończenie wiele możliwych wartości. Jeśli powtarzane pomiary na różnych podmiotach lub w różnym czasie na tym samym podmiocie mogą prowadzić do różnych wyników, teoria prawdopodobieństwa jest możliwym narzędziem do badania tej zmienności.
Z powodu ich względnej prostoty, eksperymenty ze skończoną przestrzenią prób są omawiane jako pierwsze. We wczesnym rozwoju teorii prawdopodobieństwa, matematycy rozważali tylko te eksperymenty, dla których wydawało się rozsądne, na podstawie rozważań o symetrii, przypuszczać, że wszystkie wyniki eksperymentu są „równie prawdopodobne”. Wtedy w dużej liczbie prób wszystkie wyniki powinny występować w przybliżeniu z taką samą częstotliwością. Prawdopodobieństwo zdarzenia jest zdefiniowane jako stosunek liczby przypadków korzystnych dla zdarzenia – tj. liczba wyników w podzbiorze przestrzeni prób definiującej zdarzenie do całkowitej liczby przypadków. Tak więc, 36 możliwych wyników w rzucie dwiema kostkami do gry są zakładane jako równie prawdopodobne, a prawdopodobieństwo uzyskania „sześć” jest liczbą korzystnych przypadków, 5, podzielone przez 36, lub 5/36.
Załóżmy teraz, że moneta jest rzucana n razy, i rozważyć prawdopodobieństwo zdarzenia „głowy nie występuje” w n rzutach. Wynik eksperymentu jest n-tuple, którego k-ty wpis identyfikuje wynik k-tego rzutu. Ponieważ istnieją dwa możliwe wyniki dla każdego rzutu, liczba elementów w przestrzeni prób wynosi 2n. Spośród nich tylko jeden wynik odpowiada brakowi głów, więc wymagane prawdopodobieństwo wynosi 1/2n.
Określenie prawdopodobieństwa „co najwyżej jednej głowy” jest tylko nieco trudniejsze. Oprócz pojedynczego przypadku, w którym nie pojawia się żadna głowa, istnieje n przypadków, w których pojawia się dokładnie jedna głowa, ponieważ może się ona pojawić przy pierwszym, drugim,…, lub n-tym rzucie. Stąd, istnieje n + 1 przypadków sprzyjających otrzymaniu co najwyżej jednej głowy, a pożądane prawdopodobieństwo wynosi (n + 1)/2n.