Zależność pomiędzy rozstawem kraty a kątami padających i rozproszonych wiązek światła jest znana jako równanie kraty. Zgodnie z zasadą Huygensa-Fresnela, każdy punkt na czole rozchodzącej się fali można uznać za źródło punktowe, a czoło fali w dowolnym kolejnym punkcie można znaleźć poprzez zsumowanie wkładów z każdego z tych indywidualnych źródeł punktowych. Kraty mogą być typu „odbijającego” lub „przepuszczającego”, analogicznie do, odpowiednio, zwierciadła lub soczewki. Krata ma „tryb zerowego rzędu” (gdzie m = 0), w którym nie występuje dyfrakcja, a promień światła zachowuje się zgodnie z prawami odbicia i załamania, tak samo jak w przypadku, odpowiednio, lustra lub soczewki.
Wyidealizowana siatka składa się z zestawu szczelin o rozstawie d, która musi być szersza niż interesująca nas długość fali, aby spowodować dyfrakcję. Przyjmując falę płaską monochromatycznego światła o długości fali λ o normalnym padaniu (prostopadłym do kraty), każda szczelina w kracie działa jak quasi punktowe źródło, z którego światło rozchodzi się we wszystkich kierunkach (chociaż zazwyczaj jest to ograniczone do półkuli). Po interakcji światła z kratą, światło rozproszone składa się z sumy interferujących składowych fal pochodzących z każdej szczeliny kraty. W każdym danym punkcie przestrzeni, przez który może przechodzić światło rozproszone, długość ścieżki do każdej szczeliny w kracie jest różna. Ponieważ długość drogi zmienia się, ogólnie rzecz biorąc, tak jak fazy fal w tym punkcie z każdej szczeliny. Tak więc, dodają się one lub odejmują od siebie tworząc szczyty i doliny poprzez addytywną i destruktywną interferencję. Gdy różnica dróg między światłem z sąsiednich szczelin jest równa połowie długości fali, λ/2, fale są poza fazą, a więc znoszą się wzajemnie, tworząc punkty o minimalnej intensywności. Analogicznie, gdy różnica dróg wynosi λ, fazy sumują się i powstają maksima. Dla wiązki padającej normalnie na kratę, maksima występują pod kątami θm, które spełniają zależność d sinθm/λ = | m |, gdzie θm jest kątem pomiędzy promieniem rozproszonym a wektorem normalnym kraty, d jest odległością od środka jednej szczeliny do środka sąsiedniej szczeliny, a m jest liczbą całkowitą reprezentującą interesujący nas tryb propagacji.
Tak więc, gdy światło normalnie pada na kratę, światło rozproszone ma maksima w kątach θm dane przez:
d sin θ m = m λ . {displaystyle d sin θ m = m lambda }
Można wykazać, że jeśli fala płaska pada pod dowolnym, dowolnym kątem θi, równanie kraty staje się:
d ( sin θ i – sin θ m ) = m λ . {{displaystyle d(sin θ _{i}- sin θ _{m})=m λ .}
Po rozwiązaniu dla maksimów kąta rozproszonego równanie ma postać:
θ m = arcsin ( sin θ i – m λ d ) . {{displaystyle θ m = arcsin θ i – m λ d ) .
Proszę zauważyć, że te równania zakładają, że obie strony kraty są w kontakcie z tym samym medium (np.Światło, które odpowiada bezpośredniej transmisji (lub odbiciu lustrzanemu w przypadku kraty odbiciowej) nazywane jest rzędem zerowym i oznaczane m = 0. Pozostałe maksima występują pod kątami reprezentowanymi przez niezerowe liczby całkowite m. Należy zauważyć, że m może być dodatnie lub ujemne, co powoduje dyfrakcje po obu stronach wiązki zerowego rzędu.
To wyprowadzenie równania siatki jest oparte na wyidealizowanej siatce. Jednak zależność pomiędzy kątami rozproszonych wiązek, odstępem kraty i długością fali światła dotyczy każdej regularnej struktury o tym samym odstępie, ponieważ zależność fazowa pomiędzy światłem rozproszonym z sąsiednich elementów kraty pozostaje taka sama. Szczegółowy rozkład światła rozproszonego zależy od szczegółowej budowy elementów kraty, jak również od liczby elementów w kracie, ale zawsze daje maksima w kierunkach zadanych równaniem kraty.
Można wykonać siatki, w których różne właściwości padającego światła są modulowane w sposób periodyczny; są to
- przezroczystość (siatki dyfrakcyjne o amplitudzie transmisji);
- refleksyjność (siatki dyfrakcyjne o amplitudzie odbicia);
- współczynnik załamania światła lub długość drogi optycznej (siatki dyfrakcyjne fazowe);
- kierunek osi optycznej (siatki dyfrakcyjne osi optycznej).
Równanie siatki ma zastosowanie we wszystkich tych przypadkach.
Elektrodynamika kwantowaEdit
Elektrodynamika kwantowa (QED) oferuje inne wyprowadzenie właściwości siatki dyfrakcyjnej w kategoriach fotonów jako cząstek (na pewnym poziomie). QED może być opisana intuicyjnie za pomocą całki ścieżkowej mechaniki kwantowej. Jako taka może modelować fotony jako potencjalnie podążające wszystkimi ścieżkami od źródła do punktu końcowego, każda ścieżka z pewną amplitudą prawdopodobieństwa. Te amplitudy prawdopodobieństwa mogą być reprezentowane jako liczba zespolona lub równoważny wektor – lub, jak Richard Feynman nazywa je po prostu w swojej książce o QED, „strzałki”.
Aby określić prawdopodobieństwo zajścia pewnego zdarzenia, sumuje się amplitudy prawdopodobieństwa dla wszystkich możliwych sposobów zajścia zdarzenia, a następnie bierze kwadrat długości wyniku. Amplituda prawdopodobieństwa dla fotonu z monochromatycznego źródła, aby dotrzeć do pewnego punktu końcowego w danym czasie, w tym przypadku, może być modelowany jako strzałka, która obraca się szybko, dopóki nie zostanie oceniona, gdy foton osiągnie swój punkt końcowy. Na przykład, dla prawdopodobieństwa, że foton odbije się od lustra i zostanie zaobserwowany w danym punkcie w określonym czasie, ustawia się amplitudę prawdopodobieństwa fotonu, która wiruje, gdy foton opuszcza źródło, podąża do lustra, a następnie do punktu końcowego, nawet dla ścieżek, które nie obejmują odbijania się od lustra pod równymi kątami. Można wtedy oszacować amplitudę prawdopodobieństwa w punkcie końcowym fotonu; następnie można całkować przez wszystkie te strzałki (patrz suma wektorowa) i podnieść do kwadratu długość wyniku, aby otrzymać prawdopodobieństwo, że ten foton odbije się od lustra w odpowiedni sposób. Czasy tych ścieżek określają kąt strzałki amplitudy prawdopodobieństwa, ponieważ można powiedzieć, że „wirują” one w stałym tempie (co jest związane z częstotliwością fotonu).
Czasy ścieżek w pobliżu klasycznego miejsca odbicia lustra są prawie takie same, więc amplitudy prawdopodobieństwa wskazują w prawie tym samym kierunku – mają więc sporą sumę. Badanie ścieżek w kierunku krawędzi lustra ujawnia, że czasy pobliskich ścieżek są całkiem różne od siebie, a zatem kończymy sumując wektory, które szybko się znoszą. Istnieje więc większe prawdopodobieństwo, że światło podąży ścieżką odbicia zbliżoną do klasycznej niż ścieżką bardziej oddaloną. Jednakże, siatka dyfrakcyjna może być wykonana z tego lustra, poprzez usunięcie obszarów w pobliżu krawędzi lustra, które zwykle znoszą pobliskie amplitudy – ale teraz, ponieważ fotony nie odbijają się od usuniętych części, amplitudy prawdopodobieństwa, które wszystkie wskazywałyby, na przykład, na czterdzieści pięć stopni, mogą mieć sporą sumę. Tak więc, pozwala to światłu o odpowiedniej częstotliwości sumować się do większej amplitudy prawdopodobieństwa, i jako takie posiadać większe prawdopodobieństwo osiągnięcia odpowiedniego punktu końcowego.
Ten szczególny opis zawiera wiele uproszczeń: źródło punktowe, „powierzchnia”, od której światło może się odbijać (zaniedbując w ten sposób oddziaływania z elektronami) i tak dalej. Największym uproszczeniem jest być może fakt, że „kręcenie się” strzałek amplitudy prawdopodobieństwa jest w rzeczywistości dokładniej wyjaśnione jako „kręcenie się” źródła, ponieważ amplitudy prawdopodobieństwa fotonów nie „kręcą się”, gdy są w drodze. Otrzymujemy tę samą zmienność w amplitudach prawdopodobieństwa pozwalając, aby czas, w którym foton opuścił źródło był nieokreślony – czas ścieżki mówi nam, kiedy foton opuściłby źródło, a zatem jaki byłby kąt jego „strzałki”. Jednak ten model i przybliżenie jest rozsądne, aby koncepcyjnie zilustrować siatkę dyfrakcyjną. Światło o innej częstotliwości może również odbijać się od tej samej siatki dyfrakcyjnej, ale z innym punktem końcowym.