Rozkład Bernoulliego

Rozkład Bernoulliego to rozkład dyskretny mający dwa możliwe wyniki oznaczone przez i , w którym („sukces”) występuje z prawdopodobieństwem prawdopodobieństwem i („niepowodzenie”) zachodzi z prawdopodobieństwem , gdzie . Ma ona zatem funkcję gęstości prawdopodobieństwa

które można również zapisać

Odpowiednia funkcja rozkładu odpowiadającą jej funkcją rozkładu jest

Rozkład Bernoulliego jest zaimplementowany w języku WolframLanguage jako BernoulliDistribution.

Wykonanie stałej liczby prób ze stałym prawdopodobieństwem sukcesu w każdej próbie jest znane jako próba Bernoulliego.

Rozkład głów i reszek w rzucie monetą jest przykładem rozkładu Bernoulliego z . Rozkład Bernoulliego jest najprostszym rozkładem dyskretnym i stanowi podstawę dla innych, bardziej skomplikowanych rozkładów dyskretnych. Rozkłady wielu typów wariancji zdefiniowanych na podstawie ciągów niezależnych prób Bernoulliego, które są w jakiś sposób ograniczone, są podsumowane w poniższej tabeli (Evans et al. 2000, s. 32).

dystrybucja	definicja
rozkład dwumianowy	liczba sukcesów w próbach
rozkład geometryczny	liczba niepowodzeń przed pierwszym sukcesem
rozkład dwumianowy ujemny	liczba niepowodzeń przed tym sukcesem

Funkcja charakterystyczna wynosi

i funkcja generująca momenta funkcją generującą moment jest

.

			(5)
			(6)
			(7)

so

			(8)
			(9)
			(10)
			(11)

Te dają surowe momenty

			(12)
			(13)
			(14)

i momenty centralne

			(15)
			(16)
			(17)

Średnia, wariancja, skośność,i nadmiar kurtozy wynoszą

			(18)
			(19)
			(20)
			(21)

Aby znaleźć estymator dla średniej populacji Bernoulliego ze średnią populacji , niech będzie liczebnością próby i załóżmy, że sukcesów uzyskuje się z prób. Przyjmij estymator dany przez

Więc prawdopodobieństwo uzyskania obserwowanego sukcesów w próbach wynosi wówczas

Wartość oczekiwana estymatora jest zatem dana przez

.

			(24)
			(25)
			(26)

Tak więc jest rzeczywiście bezstronnym estymatorem dla średniej populacji .

Odchylenie średnie jest dane przez