Obliczanie wartości pola elektrycznego

Potencjał elektryczny

Potencjał elektryczny jest właśnie taką funkcją skalarną. Potencjał elektryczny jest związany z pracą wykonaną przez siłę zewnętrzną, gdy transportuje ona ładunek powoli z jednego położenia do drugiego w środowisku zawierającym inne ładunki w spoczynku. Różnica pomiędzy potencjałem w punkcie A a potencjałem w punkcie B jest określona równaniem

Jak zauważono powyżej, potencjał elektryczny mierzy się w woltach. Ponieważ praca mierzona jest w dżulach w Międzynarodowym Układzie Jednostek Miar (SI), jeden wolt odpowiada jednemu dżulowi na kulomb. Ładunek q jest traktowany jako mały ładunek próbny; zakłada się, że ładunek próbny nie zakłóca rozkładu pozostałych ładunków podczas jego transportu z punktu B do punktu A.

Aby zilustrować pracę w równaniu (5), na rysunku 4 przedstawiono ładunek dodatni +Q. Rozważmy pracę związaną z przeniesieniem drugiego ładunku q z punktu B do punktu A. Na drodze 1 praca jest wykonywana w celu zrównoważenia odpychania elektrycznego pomiędzy tymi dwoma ładunkami. Jeśli zamiast tego wybierzemy ścieżkę 2, to przy przemieszczaniu q z B do C nie jest wykonywana żadna praca, ponieważ ruch jest prostopadły do siły elektrycznej; przy przemieszczaniu q z C do D praca jest, przez symetrię, identyczna jak przy przemieszczaniu z B do A, a od D do A nie jest wymagana żadna praca. Zatem całkowita praca wykonana przy przemieszczaniu q z B do A jest taka sama dla obu ścieżek. Można łatwo wykazać, że to samo jest prawdziwe dla dowolnej drogi z B do A. Gdy początkowe i końcowe położenie ładunku q znajdują się na sferze wyśrodkowanej w miejscu położenia ładunku +Q, nie jest wykonywana żadna praca; potencjał elektryczny w położeniu początkowym ma taką samą wartość jak w położeniu końcowym. Sfera w tym przykładzie nazywana jest powierzchnią ekwipotencjalną. Gdy równanie (5), określające różnicę potencjałów między dwoma punktami, połączymy z prawem Coulomba, otrzymamy następujące wyrażenie na różnicę potencjałów VA – VB między punktami A i B: gdzie ra i rb są odległościami punktów A i B od Q. Wybierając B daleko od ładunku Q i arbitralnie ustawiając potencjał elektryczny na zero daleko od ładunku otrzymujemy proste równanie na potencjał w punkcie A:

Wkład ładunku do potencjału elektrycznego w jakimś punkcie w przestrzeni jest więc wielkością skalarną wprost proporcjonalną do wielkości ładunku i odwrotnie proporcjonalną do odległości między punktem a ładunkiem. W przypadku więcej niż jednego ładunku, po prostu dodajemy wkłady różnych ładunków. W rezultacie otrzymujemy mapę topologiczną, która podaje wartość potencjału elektrycznego dla każdego punktu w przestrzeni.

Rysunek 5 przedstawia trójwymiarowe widoki ilustrujące wpływ ładunku dodatniego +Q znajdującego się w punkcie początkowym na drugi ładunek dodatni q (Rysunek 5A) lub na ładunek ujemny -q (Rysunek 5B); w każdym przypadku zilustrowany jest „krajobraz” energii potencjalnej. Energia potencjalna ładunku q jest iloczynem qV ładunku i potencjału elektrycznego w miejscu, w którym znajduje się ładunek. Na rysunku 5A ładunek dodatni q musiałby być popychany przez jakiś czynnik zewnętrzny, aby zbliżyć się do położenia +Q, ponieważ w miarę zbliżania się q do tego położenia działa na niego coraz bardziej odpychająca siła elektryczna. Dla ładunku ujemnego -q, energia potencjalna na rysunku 5B pokazuje zamiast stromego wzgórza, głęboki lej. Potencjał elektryczny wynikający z +Q jest nadal dodatni, ale energia potencjalna jest ujemna, a ujemny ładunek -q, w sposób dość analogiczny do cząstki pod wpływem grawitacji, jest przyciągany w kierunku początku, gdzie znajduje się ładunek +Q.

Pole elektryczne jest związane ze zmianą potencjału elektrycznego w przestrzeni. Potencjał stanowi wygodne narzędzie do rozwiązywania wielu różnych problemów z zakresu elektrostatyki. W obszarze przestrzeni, w którym potencjał jest zmienny, na ładunek działa siła elektryczna. Dla ładunku dodatniego kierunek działania tej siły jest przeciwny do gradientu potencjału – to znaczy, w kierunku, w którym potencjał maleje najszybciej. Ładunek ujemny będzie poddany działaniu siły w kierunku najszybszego wzrostu potencjału. W obu przypadkach wielkość siły jest proporcjonalna do szybkości zmian potencjału we wskazanych kierunkach. Jeżeli potencjał w danym obszarze przestrzeni jest stały, to nie działa żadna siła na ładunek dodatni lub ujemny. W 12-woltowym akumulatorze samochodowym ładunki dodatnie będą miały tendencję do oddalania się od bieguna dodatniego i przesuwania się w kierunku bieguna ujemnego, natomiast ładunki ujemne będą miały tendencję do przesuwania się w przeciwnym kierunku, tj. od bieguna ujemnego do dodatniego. Ta ostatnia sytuacja ma miejsce, gdy miedziany drut, w którym znajdują się elektrony, które mogą się swobodnie poruszać, jest podłączony pomiędzy dwa bieguny akumulatora.