Znana od nazwiska francuskiego matematyka Josepha Fouriera, transformata Fouriera jest procedurą matematyczną, która pozwala nam określić zawartość częstotliwościową funkcji. Dla inżynierów elektryków, transformata Fouriera jest zazwyczaj stosowana do funkcji czasu, które nazywamy sygnałami.
Dekompozycja sinusoidalna
Kreska napięcia lub prądu w funkcji czasu, tak jak na ekranie oscyloskopu, jest intuicyjną reprezentacją zachowania sygnału. Nie jest to jednak jedyna użyteczna reprezentacja.
W wielu przypadkach – na przykład w projektowaniu systemów RF – jesteśmy zainteresowani przede wszystkim okresowym zachowaniem sygnałów. Dokładniej, jesteśmy zainteresowani zrozumieniem sygnału w odniesieniu do okresowości sinusoidalnej, ponieważ sinusoidy są unikalnym matematycznym wyrażeniem „czystej” częstotliwości.
Przekształcenie Fouriera ujawnia elementarną okresowość sygnału poprzez rozkład sygnału na jego składowe częstotliwości sinusoidalne i identyfikację wielkości i faz tych składowych częstotliwości.
Słowo „rozkład” jest tutaj kluczowe. Transformata Fouriera uczy nas myśleć o sygnale w dziedzinie czasu jako o fali, która składa się z podstawowych przebiegów sinusoidalnych o różnych wielkościach i fazach.
Fala kwadratowa, na przykład, może być rozłożona na nieskończoną serię sinusoid o amplitudach, które stale maleją i częstotliwościach, które stale rosną. Dokładny szereg, dla sprzężonej z prądem zmiennym fali kwadratowej o okresie T i amplitudzie A, można zapisać w następujący sposób:
Możemy to przekształcić na następującą postać, która jest nieco bardziej intuicyjna:
Gdzie f jest częstotliwością, w hercach, fali kwadratowej.
Następny wykres przedstawia oryginalną falę kwadratową, w kolorze niebieskim, oraz pierwsze osiem sinusoid w nieskończonym szeregu.
Po obejrzeniu tego wykresu, możesz nadal być nieco sceptyczny, że te sinusoidy można połączyć w falę kwadratową. Następny wykres Cię jednak przekona. Pokazuje on oryginalną falę kwadratową oraz przebieg powstały przez dodanie wszystkich sinusoid składowych pokazanych powyżej.
Funkcje czasu i częstotliwości
Gdy obliczamy transformatę Fouriera, zaczynamy od funkcji czasu, f(t), a poprzez rozkład matematyczny otrzymujemy funkcję częstotliwości, F(ω). (Zazwyczaj w teoretycznych dyskusjach na temat transformaty Fouriera używamy częstotliwości kątowej.)
Ocena F(ω) przy pewnej określonej częstotliwości kątowej, powiedzmy 100 rad/s, daje nam wielkość i fazę składowej sinusoidalnej f(t), która ma częstotliwość 100 rad/s. Jeśli f(t) nie ma składowej sinusoidalnej przy 100 rad/s, to wielkość będzie równa zero.
Możesz się zastanawiać, jak jedna funkcja, F(ω), może podawać zarówno wielkość jak i fazę. Transformata Fouriera daje funkcję o wartości złożonej, co oznacza, że sama transformata nie jest ani wielkością składowych częstotliwości w f(t), ani fazą tych składowych. Podobnie jak w przypadku każdej liczby zespolonej, musimy wykonać dodatkowe obliczenia, aby uzyskać wielkość lub fazę.
Pojęcie transformaty zespolonej jest nieco bardziej intuicyjne, gdy pracujemy z dyskretną transformatą Fouriera, a nie „standardową” transformatą, w której zaczynamy od symbolicznej funkcji czasu i kończymy na symbolicznej funkcji częstotliwości.
Dyskretna transformata Fouriera działa na sekwencji wartości liczbowych i wytwarza sekwencję współczynników Fouriera. Współczynniki te są typowymi liczbami zespolonymi (tzn. mają postać a + jb), a my zazwyczaj używamy wielkości tych liczb zespolonych, obliczanych jako √(a2+b2), podczas analizy zawartości częstotliwościowej sygnału.
Wykres transformaty Fouriera
Wykresy zawartości częstotliwościowej są bardzo często spotykane w arkuszach danych, raportach z badań, podręcznikach itd. Często odnosimy się do wykresu zależności wielkości od częstotliwości jako do widma – na przykład, „spójrzmy na widmo sygnału” oznacza „spójrzmy na jakąś wizualną reprezentację informacji o wielkości w transformacie Fouriera.”
Poniższy wykres pokazuje widmo fali kwadratowej sprzężonej z prądem zmiennym o amplitudzie 1 i częstotliwości 1 Hz.
Jeśli porównasz wykreślone amplitudy „skoków” częstotliwości z amplitudami odpowiednich składowych sinusoidalnych w nieskończonym szeregu omówionym powyżej, zobaczysz, że są one zgodne.
Obliczanie transformaty Fouriera
Jesteśmy prawie na końcu tego artykułu, a ja wciąż nie powiedziałem Ci, jak właściwie generujemy transformatę Fouriera matematycznie zdefiniowanego sygnału.
Szczerze mówiąc, nie widzę potrzeby dokładnego zgłębiania szczegółów matematycznych w artykule wprowadzającym: analiza w dziedzinie częstotliwości jest obecnie zdominowana przez przyjazne dla użytkownika techniki oparte na oprogramowaniu, a inżynierowie nie spędzają zbyt wiele czasu na konwersji symbolicznych wyrażeń w dziedzinie czasu na symboliczne wyrażenia w dziedzinie częstotliwości.
Niemniej jednak, w przypadku czegoś tak ważnego jak transformata Fouriera, dobrze jest przynajmniej być świadomym stojącej za tym matematyki. Tak więc, bez dalszych ceregieli, oto jak przekształcamy f(t) na F(ω):
Wniosek
Mam nadzieję, że ten artykuł dostarczył jasnego, intuicyjnego wyjaśnienia czym jest transformata Fouriera i jak daje nam dodatkowy wgląd w naturę sygnału.
Przekształcenie Fouriera to tylko początek szerokiego wachlarza pokrewnych tematów; jeśli chcesz dowiedzieć się więcej, zajrzyj do artykułów wymienionych poniżej.
Przekształcenie Fouriera to tylko początek szerokiego wachlarza pokrewnych tematów.