1.5: Niepewność pomiaru

Dane liczbowe

Żaden pomiar nie jest wolny od błędu. Błąd jest wprowadzany przez ograniczenia instrumentów i urządzeń pomiarowych (takie jak wielkość podziałek na cylindrze miarowym) oraz niedoskonałość ludzkich zmysłów (np. detekcji). Chociaż błędy w obliczeniach mogą być ogromne, nie przyczyniają się one do niepewności pomiarów. Chemicy opisują szacowany stopień błędu w pomiarze jako niepewność pomiaru i są ostrożni w podawaniu wszystkich zmierzonych wartości używając tylko cyfr znaczących, liczb, które opisują wartość bez wyolbrzymiania stopnia, w którym wiadomo, że jest dokładna. Chemicy podają jako znaczące wszystkie liczby znane z absolutną pewnością, plus jeszcze jedną cyfrę, która jest rozumiana jako zawierająca pewną niepewność. Niepewność w ostatniej cyfrze jest zwykle przyjmowana jako ±1, chyba że podano inaczej.

Opracowano następujące zasady liczenia liczby cyfr znaczących w pomiarze lub obliczeniu:

1. Każda cyfra niezerowa jest znacząca.
2. Każde zero między cyframi niezerowymi jest znaczące. Liczba 2005, na przykład, ma cztery cyfry znaczące.
3. Wszystkie zera użyte jako placeholder poprzedzające pierwszą cyfrę niezerową nie są znaczące. Tak więc 0.05 ma jedną cyfrę znaczącą, ponieważ zera są używane do wskazania miejsca cyfry 5. Natomiast 0,050 ma dwie cyfry znaczące, ponieważ dwie ostatnie cyfry odpowiadają liczbie 50; ostatnie zero nie jest znakiem zastępczym. Jako dodatkowy przykład, 5.0 ma dwie cyfry znaczące, ponieważ zero nie jest używane do umieszczenia 5, ale do wskazania 5.0.
4. Gdy liczba nie zawiera przecinka dziesiętnego, zera dodane po niezerowej liczbie mogą lub nie mogą być znaczące. Przykładem jest liczba 100, która może być interpretowana jako mająca jedną, dwie lub trzy cyfry znaczące. (Uwaga: traktuj wszystkie końcowe zera w ćwiczeniach i problemach w tym tekście jako znaczące, chyba że wyraźnie powiedziano ci inaczej.)
5. Liczby całkowite otrzymane przez liczenie obiektów lub z definicji są liczbami dokładnymi, które uważa się za mające nieskończenie wiele cyfr znaczących. Jeśli policzyliśmy cztery obiekty, na przykład, to liczba 4 ma nieskończoną liczbę cyfr znaczących (tj. reprezentuje 4.000…). Podobnie, 1 stopa (ft) jest zdefiniowana jako zawierająca 12 cali (in), więc liczba 12 w poniższym równaniu ma nieskończenie wiele cyfr znaczących:

Aktywną metodą określania liczby cyfr znaczących jest konwersja zmierzonej lub obliczonej wartości do notacji naukowej, ponieważ każde zero użyte jako placeholder jest eliminowane w konwersji. Gdy 0,0800 jest wyrażone w notacji naukowej jako 8,00 × 10-2, łatwiej jest zauważyć, że liczba ta ma trzy cyfry znaczące, a nie pięć; w notacji naukowej liczba poprzedzająca wykładnik (tj. N) określa liczbę cyfr znaczących.

Działania matematyczne przeprowadza się z wykorzystaniem wszystkich podanych cyfr, a następnie zaokrągla się wynik końcowy do właściwej liczby cyfr znaczących, aby uzyskać rozsądną odpowiedź. Metoda ta pozwala uniknąć potęgowania niedokładności poprzez sukcesywne zaokrąglanie pośrednich obliczeń. Po zakończeniu obliczeń może zaistnieć konieczność zaokrąglenia ostatniej cyfry znaczącej w górę lub w dół, w zależności od wartości cyfry, która po niej następuje. Jeżeli cyfra ta jest równa 5 lub większa, to liczba jest zaokrąglana w górę. Na przykład, po zaokrągleniu do trzech cyfr znaczących, 5,215 to 5,22, podczas gdy 5,213 to 5,21. Podobnie, po zaokrągleniu do trzech cyfr znaczących, 5,005 kg staje się 5,01 kg, podczas gdy 5,004 kg staje się 5,00 kg. Procedury postępowania z cyframi znaczącymi są inne dla dodawania i odejmowania niż dla mnożenia i dzielenia.

Gdy dodajemy lub odejmujemy zmierzone wartości, wartość z najmniejszą liczbą cyfr znaczących po prawej stronie przecinka dziesiętnego określa liczbę cyfr znaczących po prawej stronie przecinka dziesiętnego w odpowiedzi. Narysowanie pionowej linii na prawo od kolumny odpowiadającej najmniejszej liczbie cyfr znaczących jest prostą metodą określenia właściwej liczby cyfr znaczących dla odpowiedzi:

3240.7 + 21.2
3261.9	36

Linia wskazuje, że cyfry 3 i 6 nie są znaczące w odpowiedzi. Te cyfry nie są znaczące, ponieważ wartości dla odpowiadających im miejsc w innych pomiarach są nieznane (3240.7??). W związku z tym odpowiedź jest wyrażona jako 3261.9, z pięcioma cyframi znaczącymi. Ponownie, liczby większe lub równe 5 są zaokrąglane w górę. Gdyby naszą drugą liczbą w obliczeniach było 21,256, wtedy zaokrąglilibyśmy 3261,956 do 3262,0, aby zakończyć nasze obliczenia.

Gdy mnożymy lub dzielimy zmierzone wartości, odpowiedź jest ograniczona do najmniejszej liczby cyfr znaczących w obliczeniach; tak więc 42,9 × 8,323 = 357,057 = 357. Chociaż druga liczba w obliczeniach ma cztery cyfry znaczące, jesteśmy uzasadnieni podając odpowiedź tylko z trzema cyframi znaczącymi, ponieważ pierwsza liczba w obliczeniach ma tylko trzy cyfry znaczące. Wyjątek od tej reguły występuje w przypadku mnożenia liczby przez liczbę całkowitą, jak w przypadku 12,793 × 12. W tym przypadku liczba cyfr znaczących w odpowiedzi jest określona przez liczbę 12,973, ponieważ w istocie dodajemy 12,973 do siebie 12 razy. Poprawną odpowiedzią jest zatem 155,516, czyli wzrost o jedną cyfrę znaczącą, a nie 155,52.

Przy korzystaniu z kalkulatora należy pamiętać, że liczba wyświetlana na jego ekranie często zawiera więcej cyfr, niż można uznać za znaczące w odpowiedzi. Na przykład, gdy pomiar podany jako 5,0 kg jest dzielony przez 3,0 L, na wyświetlaczu może pojawić się 1,666666667 jako odpowiedź. Uzasadnione jest podanie odpowiedzi z dokładnością tylko do dwóch cyfr znaczących, podając jako odpowiedź 1,7 kg/L, przy czym ostatnia cyfra powinna być obarczona niepewnością.

W obliczeniach obejmujących kilka etapów można uzyskać nieco inne odpowiedzi w zależności od sposobu zaokrąglania, a konkretnie od tego, czy zaokrąglanie jest wykonywane na pośrednich wynikach, czy też odkładane do ostatniego etapu. Zaokrąglanie do właściwej liczby cyfr znaczących powinno być zawsze wykonywane na końcu serii obliczeń, ponieważ zaokrąglanie wyników pośrednich może czasami spowodować, że ostateczna odpowiedź będzie obarczona znacznym błędem.

W praktyce chemicy zazwyczaj pracują z kalkulatorem i przenoszą wszystkie cyfry do przodu w kolejnych obliczeniach. Jednak podczas pracy na papierze często chcemy zminimalizować liczbę cyfr, które musimy wypisać. Ponieważ kolejne zaokrąglenia mogą potęgować niedokładności, pośrednie zaokrąglenia muszą być traktowane poprawnie. Podczas pracy na papierze, zawsze zaokrąglamy wynik pośredni tak, aby zachować co najmniej jedną cyfrę więcej niż jest to uzasadnione i przenosimy tę liczbę do następnego kroku w obliczeniach. Ostateczną odpowiedź zaokrąglamy na samym końcu do właściwej liczby cyfr znaczących.

W przykładach praktycznych w tym tekście często będziemy pokazywać wyniki pośrednich kroków w obliczeniach. W ten sposób pokażemy wyniki tylko do właściwej liczby cyfr znaczących dozwolonych dla danego kroku, w efekcie traktując każdy krok jako oddzielne obliczenie. Ta procedura ma na celu wzmocnienie zasad określania liczby cyfr znaczących, ale w niektórych przypadkach może dać ostateczną odpowiedź, która różni się ostatnią cyfrą od tej uzyskanej przy użyciu kalkulatora, gdzie wszystkie cyfry są przenoszone do ostatniego kroku.