Noemd naar de Franse wiskundige Joseph Fourier, is de Fourier-transformatie een wiskundige procedure die ons in staat stelt de frequentie-inhoud van een functie te bepalen. Voor elektrotechnici wordt de Fourier-transformatie gewoonlijk toegepast op tijdsfuncties die we signalen noemen.
Sinusoïdale ontbinding
Een grafiek van spanning of stroom versus tijd, zoals we die op een oscilloscoopscherm zouden zien, is een intuïtieve weergave van signaalgedrag. Het is echter niet de enige bruikbare weergave.
In veel gevallen – bijvoorbeeld bij het ontwerpen van RF-systemen – zijn we vooral geïnteresseerd in het periodieke gedrag van signalen. Meer in het bijzonder zijn we geïnteresseerd in het begrijpen van een signaal met betrekking tot sinusoïdale periodiciteit, omdat sinusoïden de unieke wiskundige uitdrukking zijn van “zuivere” frequentie.
De Fouriertransformatie onthult de elementaire periodiciteit van een signaal door het signaal te ontbinden in zijn samenstellende sinusoïdale frequenties en de magnitudes en fasen van deze samenstellende frequenties te identificeren.
Het woord “ontbinden” is hier van cruciaal belang. De Fourier-transformatie leert ons over een tijddomein-signaal te denken als een golfvorm die is samengesteld uit onderliggende sinusoïdale golfvormen met verschillende magnitudes en fases.
Een blokgolf, bijvoorbeeld, kan worden ontleed in een oneindige reeks sinusoïden met amplitudes die gestaag afnemen en frequenties die gestaag toenemen. De exacte reeks, voor een AC-gekoppelde blokgolf met periode T en amplitude A, kan als volgt worden geschreven:
We kunnen dit omzetten in de volgende vorm, die een beetje intuïtiever is:
waarbij f de frequentie is, in hertz, van de blokgolf.
De volgende grafiek toont de oorspronkelijke blokgolf, in blauw, en de eerste acht sinusoïden in de oneindige reeks.
Na deze grafiek te hebben bekeken, bent u misschien nog een beetje sceptisch dat deze sinusoïden tot een blokgolf kunnen worden gecombineerd. De volgende grafiek zal u echter overtuigen. Het toont de oorspronkelijke blokgolf en de golfvorm die ontstaat door alle hierboven getoonde sinusoïden bij elkaar op te tellen.
Functies van tijd en frequentie
Wanneer we een Fouriertransformatie berekenen, beginnen we met een functie van de tijd, f(t), en door wiskundige ontbinding produceren we een functie van de frequentie, F(ω). (In theoretische discussies over de Fourier-transformatie gebruiken we meestal de hoekfrequentie.)
Evaluatie van F(ω) bij een bepaalde hoekfrequentie, zeg 100 rad/s, levert ons de grootte en fase op van de sinusvormige component van f(t) die een frequentie heeft van 100 rad/s. Als f(t) geen sinusoïdale component heeft bij 100 rad/s, zal de magnitude nul zijn.
Je vraagt je misschien af hoe één functie, F(ω), zowel magnitude als fase kan aangeven. De Fourier-transformatie levert een complex-gewaardeerde functie op, wat betekent dat de transformatie zelf noch de magnitude van de frequentiecomponenten in f(t), noch de fase van deze componenten is. Zoals met elk complex getal moeten we extra berekeningen uitvoeren om de magnitude of de fase te extraheren.
Het concept van een complex-gewaardeerde transformatie is iets intuïtiever wanneer we werken met een discrete Fouriertransformatie, in plaats van een “standaard” transformatie waarbij we beginnen met een symbolische functie van de tijd en eindigen met een symbolische functie van de frequentie.
De discrete Fouriertransformatie werkt op een reeks numerieke waarden, en produceert een reeks Fourier-coëfficiënten. Deze coëfficiënten zijn typische complexe getallen (dat wil zeggen, ze hebben de vorm a + jb), en we gebruiken meestal de grootte van deze complexe getallen, berekend als √(a2+b2), bij het analyseren van de frequentie-inhoud van een signaal.
Plotten van de Fourier Transformatie
Plots van de frequentie-inhoud zijn zeer gebruikelijk in datasheets, testrapporten, tekstboeken, enzovoort. We noemen een grafiek van de magnitude ten opzichte van de frequentie vaak een spectrum – “laten we eens kijken naar het spectrum van het signaal” betekent bijvoorbeeld “laten we eens kijken naar een soort visuele weergave van de magnitude-informatie in de Fourier-transformatie.”
De volgende grafiek toont het spectrum van een AC-gekoppelde blokgolf met een amplitude van 1 en een frequentie van 1 Hz.
Als u de uitgezette amplitudes van de frequentie-“pieken” vergelijkt met de amplitudes van de corresponderende sinusoïdale componenten in de hierboven besproken oneindige reeks, zult u zien dat ze met elkaar in overeenstemming zijn.
Berekenen van de Fourier Transformatie
We zijn bijna aan het eind van dit artikel, en ik heb nog steeds niet verteld hoe we eigenlijk de Fourier Transformatie van een wiskundig gedefinieerd signaal genereren.
Eerlijk gezegd zie ik geen noodzaak om in een inleidend artikel wiskundige details uit te diepen: analyse van frequentiedomeinen wordt tegenwoordig gedomineerd door gebruikersvriendelijke, op software gebaseerde technieken, en ingenieurs besteden niet veel tijd aan het omzetten van symbolische tijd-domein uitdrukkingen in symbolische frequentiedomein uitdrukkingen.
Niettemin, bij zoiets belangrijks als de Fourier transform is het goed om op zijn minst op de hoogte te zijn van de onderliggende wiskunde. Dus, zonder verdere omhaal, dit is hoe we f(t) omzetten in F(ω):
Conclusie
Ik hoop dat dit artikel een duidelijke, intuïtieve uitleg heeft gegeven van wat de Fouriertransformatie is en hoe het ons extra inzicht geeft in de aard van een signaal.
De Fourier-transformatie is slechts het begin van een uitgebreide reeks verwante onderwerpen; als je meer wilt leren, bekijk dan de artikelen hieronder.