Het verband tussen de afstand tussen de tralie en de hoeken van de invallende en de afgebogen lichtbundels staat bekend als de tralievergelijking. Volgens het Huygens-Fresnel-principe kan elk punt op het golffront van een zich voortplantende golf worden beschouwd als een puntbron, en kan het golffront op elk volgend punt worden gevonden door de bijdragen van elk van deze afzonderlijke puntbronnen bij elkaar op te tellen. Gratings kunnen van het “reflecterende” of “transmissieve” type zijn, naar analogie van respectievelijk een spiegel of een lens. Een tralie heeft een “zero-order mode” (waarbij m = 0), waarin geen diffractie optreedt en een lichtstraal zich gedraagt volgens de wetten van reflectie en refractie, zoals bij een spiegel of een lens.
Een geïdealiseerd rooster bestaat uit een reeks spleten met een tussenruimte d, die breder moet zijn dan de golflengte van belang om diffractie te veroorzaken. Uitgaande van een vlakke golf van monochromatisch licht met golflengte λ en normale invalshoek (loodrecht op de tralie), fungeert elke spleet in de tralie als een quasi-puntbron van waaruit het licht zich in alle richtingen voortplant (hoewel dit meestal beperkt blijft tot een halve bol). Na de interactie van het licht met de tralie is het gebroken licht samengesteld uit de som van de interfererende golfcomponenten die afkomstig zijn van elke spleet in de tralie. Op elk gegeven punt in de ruimte waar het gebroken licht doorheen kan gaan, varieert de weglengte naar elke spleet in de tralie. Aangezien de weglengte in het algemeen varieert, varieert ook de fasering van de golven op dat punt van elk van de spleten. Aldus voegen zij aan elkaar toe of trekken zij van elkaar af om pieken en dalen te creëren door additieve en destructieve interferentie. Wanneer het wegverschil tussen het licht van aangrenzende spleten gelijk is aan de helft van de golflengte, λ/2, zijn de golven uit fase, en heffen zij elkaar dus op om punten van minimale intensiteit te creëren. Evenzo, wanneer het padverschil λ is, tellen de fasen bij elkaar op en ontstaan er maxima. Voor een bundel die normaal op een tralie valt, treden de maxima op bij hoeken θm, die voldoen aan de relatie d sinθm/λ = | m |, waarbij θm de hoek is tussen de verstrooide straal en de normaalvector van de tralie, en d de afstand van het middelpunt van een spleet tot het middelpunt van de aangrenzende spleet, en m een geheel getal is dat de propagatie-mode van belang vertegenwoordigt.
Dus, wanneer licht normaal op de tralie valt, heeft het gebroken licht maxima bij hoeken θm gegeven door:
d sin θ m = m λ . {Displaystyle d sin θtheta _{m}=m θlambda .}
Er kan worden aangetoond dat bij een invallende vlakke golf onder een willekeurige hoek θi, de vergelijking van het rooster wordt:
d ( sin θ i – sin θ m ) = m λ . {\displaystyle d(\sin \theta _{i}-\sin \theta _{m})=m}
Wanneer opgelost voor de verstrooide hoekmaxima, is de vergelijking:
θ m = arcsin ( sin θ i – m λ d ) . {Displaystyle θtheta _{m}= arcsin θ links(γin θtheta _{i}-{\frac {m}lambda }{d}} rechts)}.
Let op dat deze vergelijkingen ervan uitgaan dat beide zijden van de tralie in contact staan met hetzelfde medium (b.v. lucht).Het licht dat overeenkomt met directe transmissie (of speculaire reflectie in het geval van een reflectierooster) wordt de nulorde genoemd, en wordt aangeduid met m = 0. De andere maxima treden op bij hoeken die worden weergegeven door gehele getallen m die niet nul zijn. Merk op dat m positief of negatief kan zijn, hetgeen leidt tot diffracties aan beide zijden van de straal van de nulorde.
Deze afleiding van de tralievergelijking is gebaseerd op een geïdealiseerd tralie. Het verband tussen de hoeken van de verstrooide stralen, de tralieafstand en de golflengte van het licht geldt echter voor elke regelmatige structuur met dezelfde afstand, omdat de faseverhouding tussen het licht dat door aangrenzende elementen van het tralie wordt verstrooid hetzelfde blijft. De gedetailleerde verdeling van het verstrooide licht hangt af van de gedetailleerde structuur van de tralie-elementen en van het aantal elementen in de tralie, maar het geeft altijd maxima in de richtingen die door de tralie-vergelijking worden gegeven.
Gratings kunnen worden gemaakt waarin verschillende eigenschappen van het invallende licht in een periodiek patroon worden gemoduleerd; deze omvatten
- transparantie (transmissieamplitude-diffractieroosters);
- reflectie (reflectieamplitude-diffractieroosters);
- brekingsindex of optische weglengte (fasediffractieroosters);
- richting van de optische as (optische-as-diffractieroosters).
De tralievergelijking is in al deze gevallen van toepassing.
KwantumelektrodynamicaEdit
Kwantumelektrodynamica (QED) biedt een andere afleiding van de eigenschappen van een diffractierooster in termen van fotonen als deeltjes (op een bepaald niveau). QED kan intuïtief worden beschreven met de padintegraalformule van de kwantummechanica. Als zodanig kan zij fotonen modelleren als potentieel alle paden volgend van een bron naar een eindpunt, elk pad met een bepaalde waarschijnlijkheidsamplitude. Deze kansamplituden kunnen worden voorgesteld als een complex getal of een vector – of, zoals Richard Feynman ze noemt in zijn boek over QED, “pijlen”.
Voor de kans dat een bepaalde gebeurtenis zich voordoet, telt men de kansamplituden op voor alle mogelijke manieren waarop de gebeurtenis zich kan voordoen, en neemt dan het kwadraat van de lengte van het resultaat. De kansamplitude voor een foton van een monochromatische bron om op een bepaald tijdstip in een bepaald eindpunt aan te komen, kan in dit geval worden gemodelleerd als een pijl die snel ronddraait totdat hij wordt geëvalueerd wanneer het foton het eindpunt bereikt. Bijvoorbeeld, voor de waarschijnlijkheid dat een foton tegen een spiegel weerkaatst en een bepaalde tijd later op een bepaald punt wordt waargenomen, stelt men de waarschijnlijkheidsamplitude van het foton draaiend op naarmate het de bron verlaat, deze volgt tot aan de spiegel en dan tot aan het eindpunt, zelfs voor paden waarbij het foton niet onder gelijke hoeken tegen de spiegel kaatst. Men kan dan de waarschijnlijkheidsamplitude op het eindpunt van het foton evalueren; vervolgens kan men over al deze pijlen integreren (zie vectorsom), en de lengte van het resultaat kwadrateren om de waarschijnlijkheid te verkrijgen dat dit foton op de juiste manier op de spiegel zal weerkaatsen. De tijden van deze paden bepalen de hoek van de waarschijnlijkheidsamplitudepijl, omdat ze zogezegd met een constante snelheid ronddraaien (die samenhangt met de frequentie van het foton).
De tijden van de paden nabij de klassieke reflectieplaats van de spiegel zijn bijna gelijk, dus wijzen de waarschijnlijkheidsamplituden in bijna dezelfde richting-dus hebben ze een aanzienlijke som. Als we de paden naar de randen van de spiegel bekijken, zien we dat de tijden van de paden in de buurt van de spiegel sterk van elkaar verschillen, en dus krijgen we een som van vectoren die snel opheffen. Er is dus een grotere kans dat het licht een bijna klassiek reflectiepad zal volgen dan een pad verder weg. Van deze spiegel kan echter een diffractierooster worden gemaakt door gebieden aan de rand van de spiegel weg te schrapen die gewoonlijk de nabije amplitudes opheffen – maar omdat de fotonen nu niet reflecteren van de weggeschraapte delen, kunnen de waarschijnlijkheidsamplitudes die bijvoorbeeld allemaal op vijfenveertig graden zouden wijzen, een aanzienlijke som hebben. Hierdoor kan licht met de juiste frequentie een grotere kansamplitude hebben, en dus een grotere kans om het juiste eindpunt te bereiken.
Deze specifieke beschrijving bevat veel vereenvoudigingen: een puntbron, een “oppervlak” waar licht van kan weerkaatsen (dus zonder rekening te houden met de interacties met elektronen) enzovoort. De grootste vereenvoudiging zit misschien in het feit dat het “draaien” van de waarschijnlijkheidsamplitudepijlen eigenlijk nauwkeuriger kan worden verklaard als een “draaien” van de bron, omdat de waarschijnlijkheidsamplituden van fotonen niet “draaien” terwijl ze onderweg zijn. We krijgen dezelfde variatie in waarschijnlijkheidsamplituden door het tijdstip waarop het foton de bron verliet onbepaald te laten – en het tijdstip van het pad vertelt ons nu wanneer het foton de bron zou hebben verlaten, en dus wat de hoek van zijn “pijl” zou zijn. Dit model en deze benadering is echter een redelijke om een diffractierooster conceptueel te illustreren. Licht van een andere frequentie kan ook weerkaatsen op hetzelfde diffractierooster, maar met een ander eindpunt.