Bernoulli verdeling

By admin on

DOWNLOAD Mathematica NotebookBernoulliDistributie

De Bernoulli verdeling is een discrete verdeling met twee mogelijke uitkomsten, aangeduid met n=0 en n=1 waarbij n=1 (“succes”) zich voordoet met waarschijnlijkheid p en n=0 (“falen”) zich voordoet met waarschijnlijkheid q=1-p, waarbij 0p1. Het heeft dus een kansdichtheidsfunctie

P(n)={1-p voor n=0; p voor n=1,
(1)

die ook kan worden geschreven

P(n)=p^n(1-p)^(1-n).
(2)

De bijbehorende verdelingsfunctie is

D(n)={1-p voor n=0; 1 voor n=1.
(3)

De Bernoulli verdeling is in de WolframLanguage geïmplementeerd als BernoulliDistribution.

Het uitvoeren van een vast aantal proeven met een vaste kans van slagen op elke proef staat bekend als een Bernoulli proef.

De verdeling van kop en munt bij het tossen is een voorbeeld van een Bernoulli verdeling met p=q=1/2. De Bernoulli verdeling is de eenvoudigste discrete verdeling, en het is de bouwsteen voor andere meer ingewikkelde discrete verdelingen. De verdelingen van een aantal variatentypen gedefinieerd op basis van opeenvolgingen van onafhankelijke Bernoulli beproevingen die op een of andere manier zijn ingeperkt, zijn samengevat in de volgende tabel (Evans et al. 2000, p. 32).

distributie definitie
binomiale distributie aantal successen in n proeven
geometrische verdeling aantal mislukkingen vóór het eerste succes
negatieve binomiale verdeling aantal mislukkingen vóór het xste succes

De karakteristieke functie is

phi(t)=1+p(e^(it)-1),
(4)

en de moment-generende functie is

M(t) = e^(tn)
(5)
= sum_(n=0)^(1)e^(tn)p^n(1-p)^(1-n)
(6)
= e^0(1-p)+e^tp,
(7)

zo

M(t) = (1-p)+pe^t
(8)
M^'(t)'(t) =
(9)
M^('')(t)'')(t) = pe^t
(10)
M^((n))(t) = pe^t.
(11)

Deze geven rauwe momenten

mu_1^'' = p
(12)
mu_2^'' = p
(13)
mu_n^'' = p.
(14)

en centrale momenten

mu_2 = p(1-p)
(15)
mu_3 = p(1-p)(1-2p)
(16)
mu_4 = p(1-p)(3p^2-3p+1).
(17)

Het gemiddelde, de variantie, de skewness,en kurtosis-exces zijn dan

mu = p
(18)
sigma^2 = p(1-p)
(19)
gamma_1 = (1-2p)/(sqrt(p(1-p))
(20)
gamma_2 = (6p^2-6p+1)/(p(1-p)).
(21)

Om een schatter te vinden p^^ voor het gemiddelde van een Bernoulli populatie met populatiegemiddelde p, laat N de steekproefgrootte zijn en stel dat n successen worden verkregen uit de N proeven. Veronderstel een schatter gegeven door

p^^=n/N,
(22)

zodat de waarschijnlijkheid van het verkrijgen van de waargenomen n successen in N proeven is dan

(N; n)p^n(1-p)^(N-n).
(23)

De verwachtingswaarde van de schatter p^^ wordt dus gegeven door

p^^ = sum_(n=0)^(N)p(N; n)p^n(1-p)^(N-n)
(24)
= (1-p)^N(1/(1-p))^Np
(25)
= p,
(26)

zo p^^ is inderdaad een onvertekende schatter voor het populatiegemiddelde p.

De gemiddelde afwijking wordt gegeven door

MD=2p(1-p).
(27)

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *