Toon mobiele notitie Toon alle notities Verberg alle notities
Sectie 1-4 : Veeltermen
In deze sectie beginnen we te kijken naar veeltermen. Veeltermen zullen in de rest van dit materiaal in vrijwel elke paragraaf van elk hoofdstuk terugkomen en het is dus belangrijk dat je ze begrijpt.
We beginnen met veeltermen in één variabele. Veeltermen in één variabele zijn algebraïsche uitdrukkingen die bestaan uit termen van de vorm \(a{x^n}) waarbij \(n) een niet-negatief (d.w.z. positief of nul) geheel getal is en \(a}) een reëel getal is en de coëfficiënt van de term wordt genoemd. De graad van een polynoom in één variabele is de grootste exponent in de polynoom.
Opgemerkt moet worden dat we vaak het deel “in één variabele” weglaten en gewoon polynoom zeggen.
Hier volgen voorbeelden van polynomen en hun graden.
Een polynoom hoeft dus niet alle machten van \(x) te bevatten, zoals we in het eerste voorbeeld zien. Ook kunnen veeltermen uit een enkele term bestaan, zoals we in het derde en vijfde voorbeeld zien.
Wij moeten het laatste voorbeeld waarschijnlijk nog wat verder bespreken. Dit is echt een polynoom, ook al ziet het er niet zo uit. Bedenk dat een polynoom elke algebraïsche uitdrukking is die bestaat uit termen van de vorm a{x^n}). Een andere manier om het laatste voorbeeld te schrijven is
Op deze manier geschreven is het duidelijk dat de exponent op de \(x) een nul is (dit verklaart ook de graad…) en zo kunnen we zien dat het echt een veelterm in één variabele is.
Hier volgen enkele voorbeelden van dingen die geen veeltermen zijn.
De eerste is geen polynoom omdat hij een negatieve exponent heeft en alle exponenten in een polynoom moeten positief zijn.
Om te zien waarom de tweede geen polynoom is, zullen we hem een beetje herschrijven.
Door de wortel om te zetten in exponentvorm zien we dat er een rationale wortel in de algebraïsche uitdrukking zit. Alle exponenten in de algebraïsche uitdrukking moeten gehele niet-negatieve getallen zijn, wil de algebraïsche uitdrukking een polynoom zijn. Als algemene vuistregel geldt dat als een algebraïsche uitdrukking een radicaal bevat, het geen veelterm is.
Laten we ook de derde herschrijven om te zien waarom het geen veelterm is.
Dus, deze algebraïsche uitdrukking heeft echt een negatieve exponent en we weten dat dat niet mag. Een andere vuistregel is dat als er variabelen in de noemer van een breuk staan, de algebraïsche uitdrukking geen veelterm is.
Merk op dat dit niet betekent dat radikalen en breuken niet zijn toegestaan in veeltermen. Ze mogen alleen geen betrekking hebben op de variabelen. Bijvoorbeeld, het volgende is een polynoom
\{5},{x^4} – \frac{7}{12}}{x^2} + \frac{1}{\sqrt 8 }}x – 5,\,\sqrt{{113}}
Er zitten veel radicalen en breuken in deze algebraïsche uitdrukking, maar de noemers van de breuken zijn alleen getallen en de radicanden van elk radicaal zijn alleen een getal. Elke radiaal in de algebraïsche uitdrukking staat in de teller en de exponent is een positief (of nul) geheel getal. Daarom is dit een polynoom.
Na gaan we snel kijken naar veeltermen in twee variabelen. Veeltermen in twee variabelen zijn algebraïsche uitdrukkingen die bestaan uit termen van de vorm a{x^n}{y^m}). De graad van elke term in een veelterm in twee variabelen is de som van de exponenten in elke term en de graad van de veelterm is de grootste som.
Hier volgen enkele voorbeelden van veeltermen in twee variabelen en hun graden.
In dit soort veeltermen hoeft niet elke term zowel x- als y-termen te hebben, zoals we in het laatste voorbeeld zien hoeven er zelfs geen termen te zijn die zowel x- als y-termen bevatten. Ook kan de graad van de polynoom komen van termen met slechts één variabele. Merk ook op dat meerdere termen dezelfde graad kunnen hebben.
We kunnen het ook hebben over veeltermen in drie variabelen, of vier variabelen of zoveel variabelen als we nodig hebben. De overgrote meerderheid van de veeltermen die we in deze cursus zullen zien, zijn veeltermen in één variabele en dus zullen de meeste voorbeelden in de rest van dit hoofdstuk veeltermen in één variabele zijn.
Volgende moeten we wat terminologie uit de weg ruimen. Een monomeer is een veelterm die uit precies één term bestaat. Een binomiaal is een veelterm die uit precies twee termen bestaat. Een trinomiaal tenslotte is een veelterm die uit precies drie termen bestaat. We zullen deze termen af en toe gebruiken, dus je moet er wel enigszins mee vertrouwd zijn.
Nu moeten we het hebben over optellen, aftrekken en vermenigvuldigen van veeltermen. U zult merken dat we deling van veeltermen hebben weggelaten. Dat komt later aan de orde, waar we veelvuldig gebruik zullen maken van deling van veeltermen.
Voordat we aan deze discussie beginnen, moeten we ons de distributieve wet herinneren. Deze zal in de rest van dit hoofdstuk herhaaldelijk worden gebruikt. Hier is de distributieve wet.
We beginnen met het optellen en aftrekken van veeltermen. Dit gaat waarschijnlijk het beste aan de hand van een paar voorbeelden.
- Voeg \(6{x^5} – 10{x^2} + x – 45}) toe aan \(13{x^2} – 9x + 4).
- Trek \(5{x^3} – 9{x^2} + x – 3) af van \({x^2} + x + 1).
Toon alle oplossingen Verberg alle oplossingen
Het eerste wat we moeten doen is de bewerking die ons gevraagd wordt op te schrijven.
In dit geval zijn de haakjes niet nodig omdat we de twee veeltermen optellen. Ze zijn er alleen om duidelijk te maken welke bewerking we uitvoeren. Om twee veeltermen op te tellen is het enige wat we doen is gelijke termen combineren. Dit betekent dat we voor elke term met dezelfde exponent de coëfficiënt van die term optellen of aftrekken.
In dit geval is dat,
b Trek \(5{x^3} – 9{x^2} + x – 3}) af van \({x^2} + x + 1}). Toon oplossing
Opnieuw, laten we de bewerking die we hier doen opschrijven. We moeten ook heel voorzichtig zijn met de volgorde waarin we de dingen opschrijven. Hier is de bewerking
De haakjes rond de tweede term zijn deze keer absoluut nodig. We trekken de hele veelterm van elkaar af en de haakjes moeten er staan om er zeker van te zijn dat we de hele veelterm van elkaar aftrekken.
Bij het aftrekken is het eerste wat we doen het minteken door de haakjes verdelen. Dit betekent dat we het teken van elke term in het tweede polynoom veranderen. Merk op dat het enige wat we hier doen is een “-1” vermenigvuldigen met het tweede polynoom met behulp van de distributieve wet. Na het verdelen van de min door de haakjes combineren we weer gelijksoortige termen.
Hier volgt het werk voor dit probleem.
Merk op dat soms een term helemaal wegvalt na het combineren van gelijksoortige termen zoals hier het geval was met de \(x\). Dit gebeurt soms, dus raak er niet over opgewonden als het gebeurt.
Nu gaan we verder met het vermenigvuldigen van veeltermen. Ook hier is het het beste om dit in een voorbeeld te doen.
- (4{x^2})links( {x^2} – 6x + 2}} rechts)
- (4{x^2})links( {3x + 5}} rechts)\left( {x – 10} \right)
- (\left( {4{x^2} – x} \right)\left( {6 – 3x} \right)\)
- (\left( {3x + 7y} \right)\left( {x – 2y} \rechts)
- (\links( {2x + 3} \rechts)\links( {{x^2} – x + 1} \rechts)\)
Toon alle oplossingen Verberg alle oplossingen
Dit is niets meer dan een snelle toepassing van de distributieve wet.
b \links( {3x + 5}} rechts)\links( {x – 10} rechts)\) Toon oplossing
Deze keer gebruiken we de FOIL-methode voor het vermenigvuldigen van deze twee binomialen.
Houd in gedachten dat de FOIL-methode alleen werkt bij het vermenigvuldigen van twee binomialen. Als een van de veeltermen geen binomiaal is, werkt de FOIL-methode niet.
Ook moeten we bedenken dat we hier eigenlijk alleen maar elke term in het tweede veelterm vermenigvuldigen met elke term in het eerste veelterm. De afkorting FOIL is gewoon een handige manier om dit te onthouden.
c Toon oplossing
Ook deze halen we er gewoon uit.
d \(\links( {3x + 7y}} \rechts)\links( {x – 2y} \rechts)\) Toon oplossing
We kunnen nog steeds binomialen met meer dan één variabele FOIL-en, dus raak niet opgewonden over dit soort problemen als ze zich voordoen.
e \left( {2x + 3}} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)\) Toon oplossing
In dit geval werkt de FOIL-methode niet, omdat het tweede polynoom geen binomiaal is. Bedenk echter dat het FOIL acroniem slechts een manier was om te onthouden dat we elke term in het tweede veelterm vermenigvuldigen met elke term in het eerste veelterm.
Dat is alles wat we hier moeten doen.
Laten we nog een stel voorbeelden werken die een paar mooie formules voor een aantal speciale producten zullen illustreren. We zullen de formules na het voorbeeld geven.
- ({3x + 5} \rechts)^2}
- ({2x + 6} \rechts)^2}
- ({1 – 7x} \rechts)^2}
- ({2x + 6} ^2} ^2}
- ({1 – 7x} \rechts)^2}
- (4{links( {x + 3} ^2})
({3x – 5} \rechts)^2}
7x} ^2})
Toon alle oplossingen Verberg alle oplossingen
We kunnen hier FOIL voor gebruiken, dus laten we dat doen.
In dit geval vallen de middelste termen weg.
b \left( {2x + 6} \right)^2}} Toon oplossing
Bedenk nu dat \({4^2} = \links( 4 \rechts)^2} = 16). Kwadrateren met veeltermen werkt op dezelfde manier. Dus in dit geval hebben we,
\
c \({1 – 7x} \rechts)^2}) Toon oplossing
Deze is bijna identiek aan het vorige deel.
d {4}({x + 3} \rechts)^2}} Toon oplossing
Dit deel is er om ons eraan te herinneren dat we voorzichtig moeten zijn met coëfficiënten. Als we een coëfficiënt hebben MOETEN we eerst exponentiëren en dan de coëfficiënt vermenigvuldigen.
Je kunt een coëfficiënt alleen door een set haakjes vermenigvuldigen als er een exponent van “1” op de haakjes staat. Als er een andere exponent is, dan KAN je de coëfficiënt niet door de haakjes vermenigvuldigen.
Om het punt te illustreren.
Dit is duidelijk niet hetzelfde als het juiste antwoord, dus wees voorzichtig!
De delen van dit voorbeeld gebruiken allemaal een van de volgende speciale producten.
Zorg ervoor dat je de volgende fouten niet maakt!
Dit zijn veelgemaakte fouten die leerlingen vaak maken als ze voor het eerst beginnen met het leren vermenigvuldigen van veeltermen.