Toon mobiele notitie Toon alle notities Verberg alle notities
Hoofdstuk 7-1 : Lineaire stelsels met twee variabelen
Een lineair stelsel van twee vergelijkingen met twee variabelen is elk stelsel dat kan worden geschreven in de vorm.
waarbij elk van de constanten nul kan zijn met de uitzondering dat in elke vergelijking ten minste één variabele moet voorkomen.
Ook wordt het stelsel lineair genoemd als de variabelen alleen tot de eerste macht zijn, alleen in de teller staan en er in geen van de vergelijkingen producten van variabelen voorkomen.
Hier volgt een voorbeeld van een stelsel met getallen.
Voordat we ingaan op het oplossen van stelsels moeten we het eerst hebben over wat een oplossing van een stelsel vergelijkingen is. Een oplossing van een stelsel vergelijkingen is een waarde van x en een waarde van y die, wanneer ze in de vergelijkingen worden ingevoerd, aan beide vergelijkingen tegelijk voldoen.
Voor het bovenstaande voorbeeld is x = 2 en y = – 1 een oplossing van het stelsel. Dit is gemakkelijk te controleren.
Dus, dat getallenpaar is een oplossing van het stelsel. Maak je geen zorgen over hoe we aan deze waarden komen. Dit is het allereerste stelsel dat we oplossen als we aan voorbeelden beginnen.
Het is belangrijk dat het getallenpaar aan beide vergelijkingen voldoet. Bijvoorbeeld, \(x = 1) en \(y = – 4) voldoen aan de eerste vergelijking, maar niet aan de tweede en zijn dus geen oplossing van het stelsel. Evenzo voldoen \(x = – 1) en \(y = 1) aan de tweede vergelijking, maar niet aan de eerste en kunnen dus geen oplossing zijn voor het stelsel.
Nu, wat stelt een oplossing van een stelsel van twee vergelijkingen voor? Als je erover nadenkt, zijn beide vergelijkingen in het stelsel lijnen. Laten we er eens een grafiek van maken en kijken wat we krijgen.
Zoals u kunt zien is de oplossing van het stelsel de coördinaten van het punt waar de twee lijnen elkaar snijden. Bij het oplossen van lineaire stelsels met twee variabelen vragen we dus eigenlijk waar de twee lijnen elkaar zullen snijden.
We zullen in dit hoofdstuk twee methoden bekijken om stelsels op te lossen.
De eerste methode wordt de substitutiemethode genoemd. Bij deze methode lossen we één van de vergelijkingen op voor één van de variabelen en substitueren deze door de andere vergelijking. Dit levert één vergelijking op met één variabele die we kunnen oplossen. Als deze is opgelost, substitueren we deze waarde weer in één van de vergelijkingen om de waarde van de overblijvende variabele te vinden.
In woorden is deze methode niet altijd even duidelijk. Laten we een paar voorbeelden uitwerken om te zien hoe deze methode werkt.
- (\begin{align*}3x – y & = 7\ 2x + 3y & = 1\eind{align*})
- (\begin{align*}5x + 4y & = 1\ 3x – 6y & = 2end{align*})
Toon alle oplossingen Verberg alle oplossingen
Dit was dus het eerste stelsel dat we hierboven hebben bekeken. We kennen de oplossing al, maar dit geeft ons een kans om de waarden die we voor de oplossing hebben opgeschreven te verifiëren.
Nu zegt de methode dat we een van de vergelijkingen moeten oplossen voor een van de variabelen. Welke vergelijking we kiezen en welke variabele we kiezen is aan jou, maar het is meestal het beste om een vergelijking en variabele te kiezen die gemakkelijk te hanteren zijn. Dit betekent dat we breuken moeten vermijden als dat maar enigszins mogelijk is.
In dit geval ziet het er naar uit dat het heel gemakkelijk is om de eerste vergelijking op te lossen voor \(y\), dus laten we dat doen.
Nu substitueren we dit in de tweede vergelijking.
Dit is een vergelijking in x die we kunnen oplossen, dus laten we dat doen.
Dus, dat is het x-gedeelte van de oplossing.
Tot slot, vergeet NIET om terug te gaan en het y-gedeelte van de oplossing te vinden. Dit is een van de meest voorkomende fouten die leerlingen maken bij het oplossen van stelsels. Om dit te doen kunnen we ofwel de waarde van x in een van de oorspronkelijke vergelijkingen stoppen en oplossen voor y, of we kunnen het gewoon in onze substitutie stoppen die we in de eerste stap hebben gevonden. Dat is gemakkelijker, dus laten we dat doen.
De oplossing is dus: x = 2 en y = – 1, zoals we hierboven hebben opgemerkt.
b \(\begin{align*}5x + 4y & = 1x – 6y & = 2
einde{align*}) Toon oplossing
Met dit stelsel zullen we breuken niet helemaal kunnen vermijden. Het lijkt er echter op dat we ze kunnen minimaliseren als we de tweede vergelijking voor ƒ(x) oplossen. Hier volgt dat werk.
Vervang dit nu in de eerste vergelijking en los de resulterende vergelijking op voor \(y).
Vervang dit tenslotte in de oorspronkelijke vergelijking om \(x) te vinden.
Net als bij enkelvoudige vergelijkingen kunnen we altijd teruggaan en deze oplossing controleren door deze in beide vergelijkingen in te voegen en te controleren of deze aan beide vergelijkingen voldoet. Merk ook op dat we echt in beide vergelijkingen moeten inpluggen. Het is heel goed mogelijk dat een vergissing resulteert in een paar getallen dat wel voldoet aan een van de vergelijkingen, maar niet aan de andere.
Laten we nu overgaan naar de volgende methode voor het oplossen van stelsels van vergelijkingen. Zoals we in het laatste deel van het vorige voorbeeld hebben gezien, zal de substitutiemethode ons vaak dwingen met breuken te werken, waardoor de kans op fouten toeneemt. Deze tweede methode zal dit probleem niet hebben. Nou, dat is niet helemaal waar. Als er al breuken voorkomen, dan alleen in de laatste stap en alleen als de oplossing breuken bevat.
Deze tweede methode wordt de eliminatiemethode genoemd. Bij deze methode vermenigvuldigen we een of beide vergelijkingen met de juiste getallen (d.w.z. we vermenigvuldigen elke term in de vergelijking met het getal), zodat een van de variabelen dezelfde coëfficiënt met tegengestelde tekens krijgt. De volgende stap is het optellen van de twee vergelijkingen. Omdat een van de variabelen dezelfde coëfficiënt met tegengestelde tekens had, zal deze worden geëlimineerd wanneer we de twee vergelijkingen optellen. Het resultaat is een enkele vergelijking die we kunnen oplossen voor een van de variabelen.
Zoals bij de eerste methode is het veel gemakkelijker om met een paar voorbeelden te zien wat hier aan de hand is.
- (\begin{align*}5x + 4y & = 1\ 3x – 6y & = 2\eind{align*})
- (\begin{align*}2x + 4y & = – 10x + 3y & = 6x einde{align*})
Toon alle oplossingen Verberg alle oplossingen
Dit is het stelsel uit de vorige reeks voorbeelden dat ons met breuken liet werken. Door het hier uit te werken laten we de verschillen tussen de twee methoden zien en ook dat beide methoden gebruikt kunnen worden om de oplossing van een stelsel te krijgen.
We moeten dus een of beide vergelijkingen met constanten vermenigvuldigen zodat een van de variabelen dezelfde coëfficiënt heeft met tegengestelde tekens. Omdat de termen al tegengestelde tekens hebben, gaan we met deze termen aan de slag. Het ziet er naar uit dat als we de eerste vergelijking met 3 vermenigvuldigen en de tweede vergelijking met 2, de termen van \(y\) coëfficiënten van 12 en -12 krijgen, wat we nodig hebben voor deze methode.
Hier volgt het werk voor deze stap.
Dus, zoals de beschrijving van de methode beloofde, hebben we een vergelijking die kan worden opgelost voor \(x\). Dit geeft, \(x = \frac{1}{3}\) wat precies is wat we in het vorige voorbeeld vonden. Merk echter op dat de enige breuk waar we tot nu toe mee te maken hadden het antwoord zelf is, wat anders is dan de substitutiemethode.
Nu moet je weer niet vergeten om \(y) te vinden. In dit geval zal het een beetje meer werk zijn dan de substitutiemethode. Om \(y) te vinden moeten we de waarde van \(x\) in een van de oorspronkelijke vergelijkingen substitueren en oplossen voor \(y\). Aangezien \(x\) een breuk is, merken we op dat, in dit geval, als we deze waarde in de tweede vergelijking stoppen, we de breuken zullen verliezen, tenminste tijdelijk. Merk op dat dit vaak niet zal gebeuren en dat we gedwongen zullen zijn om met breuken om te gaan, of we dat nu willen of niet.
Ook dit is dezelfde waarde die we in het vorige voorbeeld vonden.
b ¹(¹begin{align*}2x + 4y & = – 10} 6x + 3y & = 6}eind{align*}) Toon oplossing
In dit deel zijn alle variabelen positief, dus we zullen een tegengesteld teken moeten forceren door ergens met een negatief getal te vermenigvuldigen. Merk ook op dat als we in dit geval alleen de eerste vergelijking met -3 vermenigvuldigen, de coëfficiënten van de vergelijking -6 en 6 zullen zijn.
Soms hoeven we maar een van de vergelijkingen te vermenigvuldigen en kunnen we de andere met rust laten. Dit is het werk voor dit deel.
Dit stoppen we in een van de vergelijkingen en lossen we op voor \(x). We gebruiken deze keer de eerste vergelijking.
Dus de oplossing van dit stelsel is \(x = 3) en \(y = – 4).
Er is nog een derde methode die we zullen bekijken om stelsels van twee vergelijkingen op te lossen, maar die is iets ingewikkelder en waarschijnlijk nuttiger voor stelsels met minstens drie vergelijkingen, dus die zullen we in een later deel bekijken.
Voordat we dit hoofdstuk verlaten, moeten we nog een paar speciale gevallen bij het oplossen van stelsels behandelen.
We kunnen hier beide methoden gebruiken, maar het lijkt erop dat substitutie waarschijnlijk iets eenvoudiger is. We lossen de eerste vergelijking op en substitueren dat in de tweede vergelijking.
Dit is dus duidelijk niet waar en er lijkt nergens een fout in ons werk te zitten. Dus, wat is het probleem? Laten we eens een grafiek maken van deze twee lijnen en kijken wat we krijgen.
Het lijkt erop dat deze twee lijnen evenwijdig zijn (kun je dat controleren met de hellingen?) en we weten dat twee evenwijdige lijnen met verschillende y(y)-uiteinden (dat is belangrijk) elkaar nooit zullen snijden.
Zoals we in de openingsbespreking van dit hoofdstuk hebben gezien stellen oplossingen het punt voor waar twee lijnen elkaar snijden. Als twee lijnen elkaar niet snijden, kunnen we geen oplossing hebben.
Dus, als we zo’n onzinnig antwoord uit ons werk krijgen, hebben we twee parallelle lijnen en is er geen oplossing voor dit stelsel vergelijkingen.
Het stelsel in het vorige voorbeeld noemen we inconsistent. Merk ook op dat als we eliminatie hadden gebruikt op dit stelsel we op een vergelijkbaar onzinnig antwoord zouden zijn uitgekomen.
In dit voorbeeld lijkt eliminatie de gemakkelijkste methode.
Op het eerste gezicht lijkt dit misschien hetzelfde probleem als het vorige voorbeeld. Maar in dat geval hadden we een gelijkheid die gewoon niet waar was. In dit geval hebben we 0=0 en dat is een echte gelijkheid en dus is er in die zin niets mis mee.
Het is echter duidelijk dat dit niet is wat we hier als antwoord verwachtten en dus moeten we bepalen wat er precies aan de hand is.
We laten het aan jou over om dit te controleren, maar als je de helling en de y(y)-uiteinden voor deze twee lijnen vindt, zul je ontdekken dat beide lijnen precies dezelfde helling hebben en dat beide lijnen precies hetzelfde y(y)-uiteinde hebben. Dus, wat betekent dit voor ons? Als twee lijnen dezelfde helling hebben en hetzelfde y-uiteinde, dan zijn de grafieken van de twee lijnen dezelfde grafiek. Met andere woorden, de grafieken van deze twee lijnen zijn dezelfde grafiek. In deze gevallen zal elke verzameling van punten die voldoet aan een van de vergelijkingen ook voldoen aan de andere vergelijking.
Ook moet je bedenken dat de grafiek van een vergelijking niets anders is dan de verzameling van alle punten die aan de vergelijking voldoen. Met andere woorden, er is een oneindige verzameling van punten die aan deze reeks vergelijkingen voldoen.
In deze gevallen willen we wel iets opschrijven voor een oplossing. Dus, wat we gaan doen is een van de vergelijkingen oplossen voor een van de variabelen (het maakt niet uit welke je kiest). We lossen de eerste op voor \(y\).
Dan, gegeven een willekeurige \(x\) kunnen we een \(y\) vinden en deze twee getallen zullen een oplossing vormen voor het stelsel vergelijkingen. We geven dit meestal aan door de oplossing als volgt te schrijven,
Om te laten zien dat dit oplossingen geeft laten we een paar waarden van \(t) doorlopen.
(t = 0}
Om aan te tonen dat dit een oplossing is, moeten we het in beide vergelijkingen van het stelsel inpassen.
Dus, \(x = 0) en \(y = – \frac{1}{5}) is een oplossing van het stelsel. Laten we er snel nog een doen.
(t = – 3)
Ook hier moeten we het in beide vergelijkingen van het stelsel inpassen om te laten zien dat het een oplossing is.
Zeker genoeg is \(x = – 3) en \(y = 1) een oplossing.
Dus, omdat er een oneindig aantal mogelijke \(t)’s zijn, moeten er ook een oneindig aantal oplossingen van dit stelsel zijn en die zijn gegeven door,
Systemen zoals in de vorige voorbeelden worden afhankelijk genoemd.
We hebben nu alle drie de mogelijkheden voor de oplossing van een stelsel vergelijkingen gezien. Een stelsel van vergelijkingen heeft ofwel geen oplossing, ofwel precies één oplossing, ofwel oneindig veel oplossingen.