1.5: Onzekerheid in metingen

Significante cijfers

Geen enkele meting is vrij van fouten. Fouten worden geïntroduceerd door de beperkingen van instrumenten en meetinstrumenten (zoals de grootte van de verdelingen op een maatcilinder) en de onvolkomenheid van menselijke zintuigen (d.w.z. detectie). Hoewel fouten in berekeningen enorm kunnen zijn, dragen zij niet bij tot de onzekerheid in metingen. Scheikundigen beschrijven de geschatte mate van fout in een meting als de onzekerheid van de meting, en zij zijn voorzichtig om alle gemeten waarden te rapporteren met alleen significante cijfers, getallen die de waarde beschrijven zonder de mate te overdrijven waarin deze bekend is nauwkeurig te zijn. Scheikundigen vermelden als significant alle getallen die met absolute zekerheid bekend zijn, plus nog een cijfer waarvan wordt aangenomen dat het enige onzekerheid bevat. De onzekerheid in het laatste cijfer wordt gewoonlijk verondersteld ±1 te zijn, tenzij anders vermeld.

De volgende regels zijn ontwikkeld voor het tellen van het aantal significante cijfers in een meting of berekening:

1. Elk cijfer dat niet nul is, is significant.
2. Elke nul tussen de cijfers die niet nul zijn, is significant. Het getal 2005 bijvoorbeeld heeft vier significante cijfers.
3. Nullen die als plaatsvervanger worden gebruikt vóór het eerste niet-nulcijfer zijn niet significant. Zo heeft 0,05 één significant cijfer omdat de nullen worden gebruikt om de plaats van het cijfer 5 aan te geven. Daarentegen heeft 0,050 twee significante cijfers omdat de laatste twee cijfers overeenkomen met het getal 50; de laatste nul is geen plaatshouder. Een ander voorbeeld is dat 5,0 twee significante cijfers heeft, omdat de nul niet wordt gebruikt om de 5 te plaatsen, maar om 5,0 aan te geven.
4. Wanneer een getal geen decimaalpunt bevat, kunnen nullen die na een getal zonder nul worden toegevoegd, al dan niet significant zijn. Een voorbeeld is het getal 100, dat kan worden geïnterpreteerd als een getal met één, twee of drie significante cijfers. (Let op: behandel alle nullen achteraan in oefeningen en problemen in deze tekst als significant, tenzij je specifiek anders wordt verteld.)
5. Getallen verkregen door objecten te tellen of uit definities zijn exacte getallen, die geacht worden oneindig veel significante cijfers te hebben. Als we bijvoorbeeld vier voorwerpen hebben geteld, dan heeft het getal 4 een oneindig aantal significante cijfers (d.w.z. het staat voor 4.000…). Op dezelfde manier is 1 voet (ft) gedefinieerd als 12 inch (in), dus het getal 12 in de volgende vergelijking heeft oneindig veel significante cijfers:

Een effectieve methode om het aantal significante cijfers te bepalen is de gemeten of berekende waarde om te rekenen naar wetenschappelijke notatie, omdat elke nul die als plaatshouder wordt gebruikt, bij de omrekening wordt geëlimineerd. Wanneer 0,0800 in wetenschappelijke notatie wordt uitgedrukt als 8,00 × 10-2, is het gemakkelijker te zien dat het getal drie significante cijfers heeft in plaats van vijf; in wetenschappelijke notatie bepaalt het getal dat aan de exponentiaal voorafgaat (d.w.z. N) het aantal significante cijfers.

Wiskundige bewerkingen worden uitgevoerd met alle gegeven cijfers en vervolgens wordt het eindresultaat afgerond op het juiste aantal significante cijfers om een redelijk antwoord te krijgen. Deze methode vermijdt het opeenstapelen van onnauwkeurigheden door het opeenvolgend afronden van tussenliggende berekeningen. Na het voltooien van een berekening kan het nodig zijn het laatste significante cijfer naar boven of beneden af te ronden, afhankelijk van de waarde van het cijfer dat erop volgt. Als het cijfer 5 of hoger is, wordt het getal naar boven afgerond. Bij afronding op drie significante cijfers is 5,215 bijvoorbeeld 5,22, terwijl 5,213 5,21 is. Evenzo wordt 5,005 kg op drie significante cijfers afgerond tot 5,01 kg, terwijl 5,004 kg wordt afgerond tot 5,00 kg. De procedures voor het omgaan met significante cijfers zijn verschillend voor optellen en aftrekken versus vermenigvuldigen en delen.

Wanneer we meetwaarden optellen of aftrekken, bepaalt de waarde met de minste significante cijfers rechts van de decimale punt het aantal significante cijfers rechts van de decimale punt in het antwoord. Het trekken van een verticale lijn rechts van de kolom die overeenkomt met het kleinste aantal significante cijfers is een eenvoudige methode om het juiste aantal significante cijfers voor het antwoord te bepalen:

3261,9

3240.7 + 21,2
36

De regel geeft aan dat de cijfers 3 en 6 niet significant zijn in het antwoord. Deze cijfers zijn niet significant omdat de waarden voor de overeenkomstige plaatsen in de andere meting onbekend zijn (3240,7??). Bijgevolg wordt het antwoord uitgedrukt als 3261,9, met vijf significante cijfers. Nogmaals, getallen groter dan of gelijk aan 5 worden naar boven afgerond. Als ons tweede getal in de berekening 21,256 was geweest, dan zouden we 3261,956 hebben afgerond tot 3262,0 om onze berekening te voltooien.

Wanneer we meetwaarden vermenigvuldigen of delen, wordt het antwoord beperkt tot het kleinste aantal significante cijfers in de berekening; dus, 42,9 × 8,323 = 357,057 = 357. Hoewel het tweede getal in de berekening vier significante cijfers heeft, is het gerechtvaardigd het antwoord tot slechts drie significante cijfers te rapporteren omdat het eerste getal in de berekening slechts drie significante cijfers heeft. Een uitzondering op deze regel doet zich voor bij vermenigvuldiging van een getal met een geheel getal, zoals in 12,793 × 12. In dit geval wordt het aantal significante cijfers in het antwoord bepaald door het getal 12,973, omdat we in wezen 12,973 12 keer bij zichzelf optellen. Het juiste antwoord is dus 155,516, een toename van één significant getal, en niet 155,52.

Wanneer je een rekenmachine gebruikt, is het belangrijk om te onthouden dat het getal op het display van de rekenmachine vaak meer cijfers laat zien dan in je antwoord als significant kunnen worden gerapporteerd. Wanneer bijvoorbeeld een meting die is gerapporteerd als 5,0 kg wordt gedeeld door 3,0 L, kan het display 1,666666667 als het antwoord weergeven. Het is gerechtvaardigd het antwoord met slechts twee significante cijfers te rapporteren en 1,7 kg/L als antwoord te geven, waarbij het laatste cijfer met enige onzekerheid wordt opgevat.

In berekeningen die uit meerdere stappen bestaan, kunnen enigszins verschillende antwoorden worden verkregen, afhankelijk van hoe met afronden wordt omgegaan, met name of het afronden op tussenresultaten wordt uitgevoerd of wordt uitgesteld tot de laatste stap. Het afronden op het juiste aantal significante cijfers moet altijd aan het eind van een reeks berekeningen worden uitgevoerd, omdat het afronden van tussenresultaten er soms toe kan leiden dat het uiteindelijke antwoord een aanzienlijke fout vertoont.

In de praktijk werken scheikundigen meestal met een rekenmachine en nemen alle cijfers mee in de volgende berekeningen. Wanneer we echter op papier werken, willen we vaak het aantal cijfers dat we moeten uitschrijven tot een minimum beperken. Omdat opeenvolgende afrondingen onnauwkeurigheden kunnen verergeren, moet correct worden omgegaan met tussentijdse afrondingen. Rond bij het werken op papier een tussenresultaat altijd zo af dat er ten minste één cijfer meer overblijft dan verantwoord is en neem dit getal mee naar de volgende stap in de berekening. Het uiteindelijke antwoord wordt dan helemaal aan het eind afgerond op het juiste aantal significante cijfers.

In de uitgewerkte voorbeelden in deze tekst zullen we vaak de resultaten van tussenstappen in een berekening laten zien. Daarbij tonen we de resultaten alleen op het juiste aantal significante cijfers dat voor die stap is toegestaan, waarbij elke stap in feite als een afzonderlijke berekening wordt behandeld. Deze procedure is bedoeld om de regels voor het bepalen van het aantal significante cijfers te versterken, maar kan in sommige gevallen een eindantwoord opleveren dat in het laatste cijfer afwijkt van het antwoord dat met een rekenmachine wordt verkregen, waarbij alle cijfers tot en met de laatste stap worden doorgerekend.