In der Infinitesimalrechnung, der analytischen Geometrie und verwandten Gebieten ist eine lineare Funktion ein Polynom vom Grad eins oder weniger, einschließlich des Nullpolynoms (wobei letzteres nicht als Polynom vom Grad null betrachtet wird).
Wenn die Funktion nur von einer Variablen ist, hat sie die Form
f ( x ) = a x + b ,
wobei a und b Konstanten, oft reelle Zahlen, sind. Der Graph einer solchen Funktion einer Variablen ist eine nicht-vertikale Gerade. a wird häufig als die Steigung der Geraden bezeichnet und b als der Achsenabschnitt.
Für eine Funktion f ( x 1 , … , x k ) {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})}
einer beliebigen endlichen Anzahl von Variablen lautet die allgemeine Formel f ( x 1 , … , x k ) = b + a 1 x 1 + ⋯ + a k x k , {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})=b+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k},}
und der Graph ist eine Hyperebene der Dimension k.
Eine konstante Funktion wird in diesem Zusammenhang ebenfalls als linear betrachtet, da sie ein Polynom vom Grad Null ist oder das Nullpolynom ist. Ihr Graph ist, wenn es nur eine Variable gibt, eine horizontale Linie.
Eine Funktion, die auch eine lineare Abbildung ist (die andere Bedeutung), kann in diesem Zusammenhang als homogene lineare Funktion oder lineare Form bezeichnet werden. Im Kontext der linearen Algebra sind die Polynomfunktionen vom Grad 0 oder 1 die skalarwertigen affinen Abbildungen.