確率論

3つ目の例として、様々な色のボールが入った壷からn個のボールを取り出すことが挙げられます。 この実験の一般的な結果は n 個のタプルで、i 番目のエントリは i 番目の抽選で得られたボールの色を指定します (i = 1, 2,…, n)。 この実験は単純ですが，よく理解することで，世論調査やサンプル調査の理論的な基礎が得られます． 例えば，ある選挙で特定の候補者を支持している人は特定の色のボールで識別され，別の候補者を支持している人は別の色で識別される，というようなことです．

単純な壷モデルのもう一つの応用例として、病気の新しい治療法、新薬、新しい外科手術が、標準的な治療法よりも優れているかどうかを判断するための臨床試験があります。 治療が成功するか失敗するかの単純なケースでは、臨床試験の目的は、新しい治療法が標準的な治療法よりも成功する頻度が高いかどうかを調べることです。 病気の患者さんは、骨壷の中のボールに例えられます。 赤いボールは新しい治療法で治った患者さん、黒いボールは治らなかった患者さんです。 通常、標準的な治療を受ける対照群があります。 彼らは，赤いボールの割合が異なる可能性のある2つ目の壷で表されます． それぞれの壷からいくつかのボールを引く実験の目的は、サンプルに基づいて、どの壷に赤いボールの割合が多いかを発見することです。 このアイデアのバリエーションとして、新しいワクチンの有効性をテストすることができます。 最も有名な例は、1954年に行われたソーク・ワクチンのテストであろう。 これは米国公衆衛生局が主催したもので、約200万人の子どもたちが参加しました。 この実験が成功したことで、先進国ではポリオの感染がほぼ完全になくなった。

上記の実験とは対照的に、多くの実験では無限に多くの結果が考えられます。 例えば、最初に「頭」が出るまでコインを投げることができます。 投げられる数はn = 1, 2, …. です。 もうひとつの例は、スピナーを回すことです。 幅のない直線で作られ、その中心で回転する理想的なスピナーの場合、可能な結果のセットは、スピナーの最終位置がある一定の方向となすすべての角度のセットであり、等価的には[0, 2π]のすべての実数である。 体積、電圧、温度、反応時間、限界収入など、自然科学や社会科学における多くの測定は、連続的なスケールで行われ、少なくとも理論上は無限に多くの可能な値を含みます。

その比較的な単純さのために、有限のサンプル空間を持つ実験が最初に議論されます。 確率論の初期の開発では、数学者は、対称性を考慮して、実験のすべての結果が「同じ確率」であると仮定することが妥当であると思われる実験のみを検討しました。 その場合、多数の実験において、すべての結果がほぼ同じ頻度で起こるはずです。 ある事象の確率は，その事象に有利なケースの数，すなわち，その事象を定義するサンプル空間の部分集合に含まれる結果の数と，ケースの総数との比であると定義されます。

ここで、コインをn回投げたと仮定して、n回の投げで「頭が出ない」という事象の確率を考えます。 実験の結果はn個のタプルで、k番目のエントリがk回目のトスの結果を示します。 それぞれのトスには2つの可能な結果があるので，サンプル空間の要素数は2nとなります．

「せいぜい1個の頭」の確率を求めるのは、ほんの少しだけ難しいです。 頭が1つもない場合に加えて、頭がちょうど1つある場合がn個ありますが、これは1回目、2回目、…、n回目のトスで発生する可能性があるからです。 したがって、最大で1つの頭を得るのに有利なn + 1のケースがあり、望ましい確率は(n + 1)/2nとなります

。