フランスの数学者ジョセフ・フーリエにちなんで名付けられたフーリエ変換は、ある関数の周波数成分を決定する数学的な手法です。
正弦波の分解
オシロスコープのディスプレイに表示されるような、電圧または電流対時間のプロットは、信号の動作を直感的に表しています。
RFシステムの設計など、多くの場合、私たちは主に信号の周期的な動作に関心があります。
フーリエ変換は、信号を構成する正弦波の周波数に分解し、これらの構成周波数の大きさと位相を識別することによって、信号の要素の周期性を明らかにします。
ここで重要なのは、「分解する」という言葉です。フーリエ変換では、時間領域の信号を、さまざまな大きさと位相を持つ基礎的な正弦波で構成された波形として考えることができます。 周期T、振幅AのAC結合された矩形波の正確な級数は、以下のように書くことができます：
これをもう少し直感的な以下の形式に変換することができます。
ここで、fは矩形波の周波数(ヘルツ)です。
次のプロットは、元の矩形波 (青) と、無限系列の最初の 8 つの正弦波を示しています。
このプロットを見た後でも、これらの正弦波が矩形波に結合できるかどうか、少し疑問に思うかもしれません。 しかし、次のプロットを見れば、納得できるはずです。 この図は、元の矩形波と、上記の構成要素である正弦波をすべて加算して生成した波形を示しています。
時間と周波数の関数
フーリエ変換を計算するとき、私たちは時間の関数から始めます。 時間の関数f(t)から始まり、数学的に分解することで、周波数の関数F(ω)を生成します。
F(ω)をある特定の角周波数、たとえば100 rad/sで評価すると、f(t)のうち100 rad/sの周波数を持つ正弦波成分の大きさと位相が得られます。
F(ω)という1つの関数が、どうして大きさと位相の両方を表すことができるのか、不思議に思われるかもしれません。 フーリエ変換は複素数の関数を生成します。つまり、変換自体がf(t)の周波数成分の大きさでもなく、これらの成分の位相でもないのです。
複素数変換の概念は、時間の記号的な関数から始まり、周波数の記号的な関数で終わるような「標準的な」変換ではなく、離散フーリエ変換で作業しているときに、幾分直感的に理解できます。
Plotting the Fourier Transform
周波数成分のプロットは、データシート、テストレポート、教科書などで非常によく見られます。 例えば、「Let’s take a look at the spectrum of the signal」は、「フーリエ変換のマグニチュード情報のある種の視覚的表現を見てみましょう」という意味です。
以下のプロットは、振幅が 1 で周波数が 1 Hz の AC 結合された矩形波のスペクトルです。
プロットされた周波数の「スパイク」の振幅を、上述の無限級数における対応する正弦波成分の振幅と比較すると、それらが一致していることがわかります。
フーリエ変換の計算
この記事もそろそろ終わりに近づいてきましたが、数学的に定義された信号のフーリエ変換を実際にどのように生成するのか、まだお話ししていませんでした。
正直なところ、入門記事で数学的な詳細を徹底的に調べる必要はないと考えています。最近の周波数領域の分析は、ユーザーフレンドリーなソフトウェアベースの技術が主流であり、エンジニアは、時間領域の記号的な表現を周波数領域の記号的な表現に変換することに多くの時間を費やすことはありません。
とはいえ、フーリエ変換のような重要なものでは、少なくとも基礎となる数学を知っておくことは良いことです。
結論
この記事が、フーリエ変換とは何か、そしてフーリエ変換がどのようにして信号の性質についての追加的な洞察を与えるかについて、明確かつ直感的な説明を提供できたことを願っています。
フーリエ変換は、広範囲にわたる関連トピックのほんの始まりに過ぎません。