Algebra – Polynomials

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セクション 1-4: 多項式

このセクションでは、多項式について見ていきます。

まず、1変数の多項式から始めます。

まず、1変数の多項式について説明します。1変数の多項式とは、\(a{x^n}\)という形の項で構成された代数式です。

ここでは、多項式の例とその次数を示します。

つまり、最初の例のように、多項式は\(x\)のすべての累乗を含む必要はないということです。

最後の例は、もう少し議論したほうがいいでしょう。 これは、見た目にはわからなくても、本当に多項式です。 多項式とは、\(a{x^n}\)の形の項で構成される代数式であることを覚えておいてください。

このように書くと、\(x\)の指数が0であることが明らかになり（これは次数の説明にもなります）、本当に1変数の多項式であることがわかります。

次に、多項式ではないものの例を挙げます。

最初のものは負の指数を持っており、多項式のすべての指数は正でなければならないため、多項式ではありません。

2番目のものが多項式ではない理由を見るために、少し書き直してみましょう。 代数式が多項式であるためには、代数式の指数はすべて非負の整数でなければなりません。

一般的な経験則として、代数式にラジカルが含まれている場合、それは多項式ではありません。

また、なぜそれが多項式ではないのかを確認するために、3番目の代数式を書き換えてみましょう。

この経験則は、分数の分母に変数がある場合、その代数式は多項式ではないことを意味します。 ただ、変数を含むことはできません。 例えば、次のようなものが多項式です。 – 7}{{12}}{x^2}. + ̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶̶ – 5

この代数式にはたくさんの部首と分数がありますが、分数の分母は数字のみで、各部首の基数は数字のみです。 また、代数式中の各\(x\)は分子に現れ、指数は正（または0）の整数である。

次に、2変数の多項式について簡単に見てみましょう。 2変数の多項式は、\(a{x^n}{y^m}\)の形の項からなる代数式です。

以下に2変数の多項式の例とその次数を示します。

この種の多項式では、すべての項に\\と\\の両方が含まれている必要はなく、最後の例で見たように、\\と\の両方を含む項がある必要はありません。 また、多項式の次数は、1つの変数だけを含む項で決まることもあります。

また、3変数の多項式や4変数の多項式など、必要な数だけの多項式を語ることができます。

次に、いくつかの用語を整理しておきましょう。 単項式とは、ちょうど1つの項からなる多項式のことです。 二項式とは、正確に2つの項からなる多項式のことです。 最後に、三項式とは、正確に3つの項からなる多項式のことです。

ここでは、多項式の足し算、引き算、掛け算について説明します。 多項式の除算を省いていることに気づくでしょう。

この議論を実際に始める前に、分配法則を思い出す必要があります。 この法則は、このセクションの残りの部分で繰り返し使用されます。

まず、多項式の足し算と引き算から始めます。

Example 1 以下の各項目について、指示された操作を行います。

  1. Add ˶(6{x^5} – 10{x^2} + x – 45˶) to ˶(13{x^2} – 9x + 4˶)
  2. Subtract ˶(5{x^3} – 9{x^2} + x – 3˶) to ˶({x^2} + x + 1˶)
  • では、次のような操作を行います。

    • Show All Solutions Hide All Solutions

    a Add ˶(6{x^5} – 10{x^2} + x – 45˶) to ˶(13{x^2} – 9x + 4˶). 解答を表示する

    まず、求められている操作を実際に書いてみることが大切です。 括弧は、実行している操作を明確にするためだけにあります。 2つの多項式を足すためにすることは、同じような項を組み合わせることです。

    この例では、次のようになります。

    b\({x^2} + x + 1\)から\(5{x^3} – 9{x^2} + x – 3)を引きます。 解答を表示

    もう一度、ここで行っている操作を書き出してみましょう。 書き出す順番にも注意が必要です。 ここでは、操作を行います

    今回は、第2項を囲む括弧が絶対に必要です。

    引き算をする際に、まずマイナス記号をカッコの中に配します。 これは、2番目の多項式のすべての項の符号を変更することを意味します。 ここで実際にやっていることは、分配法則を使って、2つ目の多項式に「-1」を掛けているだけであることに注意してください。

    これがこの問題の作品です。

    注意していただきたいのは、今回のように、同じような項を組み合わせた後に、ある項が完全に抜け落ちてしまうことがあります。

    さて、多項式の乗算に移りましょう。

    例題2 次の各項目を掛け合わせてみましょう。

    1. \\(4{x^2}\left( {{x^2} – 6x + 2} ˶ˆ꒳ˆ˵ ) )
    2. \(3x + 5} ˶ˆ꒳ˆ˵ ) ˶ˆ꒳ˆ˵ ) 10} ᐝᐝ

    すべての解答を表示する すべての解答を隠す

    a ♪ 4{x^2}\left( {{x^2} – 6x + 2} ˶ˆ꒳ˆ˵ ) Show Solution

    これは、分配法則を簡単に応用しただけのものです。 解答を表示する

    この問題では、2つの二項式の掛け算にFOIL法を用います。

    FOIL法は2つの二項式を掛け算するときにしか使えないことを思い出してください。

    また、ここで実際に行っていることは、2つ目の多項式のすべての項と1つ目の多項式のすべての項を掛け合わせることであることに注意してください。

    c ˶ˆ꒳ˆ˵ ( ˶ˆ꒳ˆ˵ ) 解答を表示する

    ここでもFOILで解決します。

    d left( {3x + 7y} eldest )fts( {x – 2y} eldest )fts。 解答を表示する

    2つ以上の変数を含む二項式はまだFOILできるので、このような問題が発生しても興奮しないようにしましょう

    e ˶ˆ꒳ˆ˵ ) 解答を表示

    この場合、2番目の多項式が2項式ではないので、FOIL法は使えません。 しかし、FOILの頭文字は、2番目の多項式の各項と1番目の多項式の各項を掛け合わせることを覚えておくためのものだったことを思い出してください。

    例題3 以下のそれぞれを掛け合わせます。

    2. \\({3x + 5} ˶ˆ꒳ˆ˵ )
    3. ({2x + 6} ˶ˆ꒳ˆ˵ )
    4. ({2x + 6} ˶ˆ꒳ˆ˵ )
    5. ({1 – 7x} ˶ˆ꒳ˆ˵ )
    6. 4{{x + 3} ˶ˆ꒳ˆ˵ )

    すべてのソリューションを表示する すべてのソリューションを隠す

    a ˶ˆ꒳ˆ˵ ) 解答を表示

    この問題はFOILが使えますので、そうしましょう。

    この場合、中間項は抜けます。 解答を表示

    ここで、\({4^2} = \left( 4 ˶ˆ꒳ˆ˵ ) = 16\)を思い出してください。 多項式の2乗も同じように行います。 つまり、この場合は、次のようになります。 解答を表示する

    これは前の部分とほぼ同じです。

    d ˶(4{x + 3} ˶^2}˶) 解答を表示

    この部分は、係数に注意しなければならないことを思い出させてくれます。

    括弧の中の係数を掛けられるのは、括弧の中に「1」の指数があるときだけです。

    ポイントを説明します。

    これは明らかに正解とは違いますので、注意してください。

    この例題の各部分では、次のような特殊な積が使用されています。

    次のような間違いをしないように注意してください！

    これらは、多項式の乗法を学び始めたばかりの学生がよく犯してしまう間違いです。

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