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Section 7-1 : Linear Systems with Two Variables
2つの変数を持つ2つの方程式の連立方程式とは、次のような形式で書ける方程式のことです。
また、変数が1乗で、分子にのみ存在し、どの方程式にも変数の積がないものを線形系と呼びます。
以下に数字を使った連立方程式の例を示します。
連立方程式の解き方を説明する前に、まず、連立方程式の解とは何かについて説明します。
上の例では、x = 2, y = – 1 が連立方程式の解となります。
では、確かにこの数字のペアは方程式の解となります。 この値をどうやって得たかは気にしないでください。
注意していただきたいのは、数字のペアが両方の方程式を満たすことが重要です。 例えば、\(x = 1) and \(y = – 4\)は、1つ目の方程式を満たしていますが、2つ目の方程式は満たしていませんので、このシステムの解にはなりません。 同様に、\(x = – 1\)と\(y = 1\)は、2つ目の方程式を満たしますが、1つ目の方程式を満たさないので、連立方程式の解にはなりません。
さて、連立方程式の解とは何を表しているのでしょうか？ 考えてみると、連立方程式の両方とも直線です。
このように、連立方程式の解は、2つの直線が交差する点の座標になります。
このセクションでは、連立方程式を解くための2つの方法を見ていきます。
1つ目の方法は、代入法と呼ばれるものです。 この方法では、変数の1つについて方程式の1つを解いて、これをもう1つの方程式に代入します。 これにより、1つの変数を持つ1つの方程式を解くことができます。
言葉で言うと、この方法は必ずしも明確ではありません。
- & = 7\ 2x + 3y & = 1\end{align*}\
- & = 1\ 3x + 4y & = 1\ 3x – 6y &
- & = 1\ 3x – 6y &
- & = 1 6y & = 2\\
すべての解答を表示する すべての解答を隠す
さて、これが上で見た最初の系です。
この方法では、方程式の1つを変数の1つについて解く必要があります。 どの方程式を選ぶか、どの変数を選ぶかはあなた次第ですが、通常、扱いやすい方程式と変数を選ぶのがベストです。
この場合、最初の式を\(y\)と解くのはとても簡単そうなので、そうしましょう。
さて、これを2つ目の式に代入します。
これは、\(x\)の方程式を解くことができるので、そうしましょう。
これで、解決策の˶ˆ꒳ˆ˵ )
最後に、解決策の˶ˆ꒳ˆ˵ ) を探しに戻ることを忘れないでください。 これは、システムを解く際に生徒が犯しがちなミスの1つです。 そのためには、元の方程式の一つに\(x\)の値を差し込んで、\(y\)を解くか、最初のステップで見つけた代入式に差し込むかのどちらかになります。
このようにして、上で述べたように、解決策は\(x = 2\)と\(y = – 1\)になります。
b ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ! 解答を表示
このシステムでは、分数を完全に避けることはできません。 しかし、2つ目の式を\(x\)について解けば、分数を最小にすることができそうです。
さて、この式を最初の式に代入して、その結果の式を解くと、\(y\)が求まります。
従って、このシステムの解は\(x = \frac{1}{3}\)と\(y = – \frac{1}{6}\)となります。 さらに、実際に両方の方程式に差し込む必要があることにも注意してください。
次に、連立方程式を解くための方法を紹介しましょう。 先ほどの例の最後の部分で見たように、代入法ではしばしば分数を扱わなければならず、これが間違いの可能性を高めます。 今回の方法では、このような問題はありません。 しかし、それは完全に正しいとは言えません。
この2つ目の方法は、消去法と呼ばれています。
この2つ目の方法は消去法と呼ばれています。この方法では、方程式の片方または両方に適切な数字を掛けて（つまり、方程式のすべての項に数字を掛けて）、変数の1つが反対の符号で同じ係数を持つようにします。 次のステップは、2つの方程式を足すことです。 変数の1つが反対の符号を持つ同じ係数を持っていたので、2つの方程式を足すときにそれは消去されます。 その結果、変数の1つについて解くことができる1つの方程式が得られます。
最初の方法と同様に、いくつかの例を見てみると、何が起こっているのかがよりわかりやすくなります。
- & = 1\ 3x – 6y & = 2\end{align*}\
- & = 2x + 4y & = -10 10\\ 6x + 3y & = 6\end{align*}\)
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先ほどの例題では、分数を使ったシステムでした。
そこで、変数の一つが反対の符号を持つ同じ係数を持つように、片方または両方の方程式に定数を掛ける必要があります。 ここでは、\(y\)の項がすでに反対の符号を持っているので、これらの項を使ってみましょう。
ここでは、このステップの作業を紹介します。
さて、この方法の説明にあったように、\(x\)を解くことができる方程式があります。 そうすると、先ほどの例題と同じように、\(x = ˶‾᷄⌓‾᷅˵)が得られます。
さて、ここで忘れてはならないのが、先ほどの例で求めたのと同じように、代入法とは違って、ここまでに扱った分数は、答えそのものであるということです。 この場合は、代入法よりも少し手間がかかります。 を求めるためには、元の方程式のどちらかに、\(x\)の値を代入して、\(y\)を解く必要があります。 この場合、この値を2つ目の式に代入すると、一時的に分数がなくなることに注意しましょう。
また、これは前の例で見つけたものと同じ値です。
b ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ! 解答を表示する
この部分は変数がすべて正なので、どこかで負の数を掛けて無理やり反対の符号にする必要があります。
また、この場合、最初の式に-3をかけるだけで、\\(x\)の係数は-6と6になることに気付きましょう。
最後に、これをどちらかの式に入れて、\(x\)を解きます。
つまり、この連立方程式の解は、\(x = 3\)、\(y = – 4\)となります。
2つの方程式の連立方程式を解く方法として、3つ目の方法がありますが、これは少し複雑で、少なくとも3つの方程式を持つ連立方程式に有効な方法なので、後のセクションで紹介します。
このセクションを終える前に、連立方程式を解く際のいくつかの特殊なケースについて触れておきましょう。
ここではどちらの方法でもよいのですが、代入の方が若干簡単そうです。
だから、これは明らかに正しくないし、どこにも間違いがないように見えます。 では、何が問題なのでしょうか？
この2本の直線は平行であり、決して交わることはないように見えますが（傾きで確認できますか？
だから、このような意味不明な答えが返ってきたときは、2本の平行線があり、この方程式系には解がないということになります。
先ほどの例の方程式系は「無矛盾」と呼ばれます。
この例では消去法が最も簡単な方法のように見えますが、一見すると前の例と同じ問題のように見えます。 しかし、前の例では、単に真ではない等式になってしまいました。
検証は皆さんにお任せしますが、この2本の直線の傾きと切片を求めると、どちらの直線も全く同じ傾きで、どちらの直線も全く同じ˶切片を持つことがわかります。 では、これは何を意味するのでしょうか？ つの直線の傾きと切片が同じなら、その2つの直線のグラフは同じグラフです。 言い換えれば、この2本の直線のグラフは同じグラフです。
また、ある方程式のグラフは、その方程式を満たすすべての点の集合にほかならないことを思い出してください。
また、方程式のグラフは、方程式を満たすすべての点の集合であることを思い出してください。つまり、この方程式の集合を満たす点の集合は無限にあるのです。
このような場合には、何か解答を書き留めておきたいところですが、ここでは、方程式の1つを変数の1つについて解くことにします（どちらを選んでも構いません）。
そうすると、任意の\(x\)が与えられたときに、\(y\)を見つけることができ、この2つの数字が方程式の解となります。
このように解が得られることを示すために、いくつかの値を考えてみましょう。
\\(t = 0\)
これが解であることを示すには、システムの両方の式に接続する必要があります。
つまり、\(x = 0\)と y = – ˶ˆ꒳ˆ˵ ) がシステムの解です。
(t = – 3\)
再度、解であることを示すために、システムの両方の式にプラグインする必要があります。
確かに ˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵ ˶‾᷅˵ ˶‾᷄ -̫ ‾᷄˵
つまり、この方程式の解は無限に存在することになり、次のようになります。 方程式の系は、解がないか、ちょうど1つの解を持つか、無限に多くの解を持つかのいずれかになります
。