Significant Figures
測定には誤差がつきものです。 誤差は、器具や測定器の限界（メスシリンダーの目盛りの大きさなど）や、人間の感覚の不完全さ（検出）によって生じます。 計算の誤差は非常に大きいものですが、測定の不確かさにはつながりません。 化学者は、測定における推定誤差の程度を測定の不確かさと表現し、すべての測定値を有効数字のみで報告するように注意しています。有効数字とは、正確であることがわかっている程度を誇張することなく値を表す数字です。 化学者は、絶対的な信頼性があることがわかっているすべての数字に加えて、多少の不確かさがあると理解されている1桁の数字を有効数字として報告します。
測定や計算の有効数字の数を数えるために、次のような規則が作られました。
- 0以外の数字はすべて有効です。
- 0以外の数字の間にある0はすべて有効です。
- ゼロ以外の数字の前にプレースホルダーとして使用されているゼロはすべて有効ではありません。 例えば、0.05は有効数字が1桁ですが、これはゼロが5という数字の位置を示すために使われているからです。 一方、0.050は、最後の2桁が数字の50に対応しているため、有効数字が2桁となります（最後のゼロはプレースホルダーではありません）。
- 数字に小数点が含まれていない場合、ゼロ以外の数字の後に付けられたゼロは意味を持つ場合と持たない場合があります。 例えば、100という数字は、有効数字が1桁、2桁、または3桁であると解釈することができます。
- 対象物を数えたり、定義から得られる整数は正確数であり、有効数字は無限にあると考えられます。 例えば、4つの物体を数えた場合、4という数字は無限の有効数字を持つことになります（つまり、4.000…を表す）。
有効数字の数を決定する効果的な方法は、測定値または計算値を科学的表記法に変換することです。 0.0800を8.00×10-2と表記すると、有効数字が5桁ではなく3桁であることがわかります。
Example(˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵)
それぞれの有効数字を教えてください。
- 5.87
- 0.031
- 52.90
- 00.2001
- 500
- 6個の原子
解答
- 3（ルール1）
- 2（ルール3）; 科学的な表記では、この数字は3.1×10-2と表され、有効数字が2つあることを示しています。
- four (rule 3)
- four (rule 2); この数値は科学的な表記では2.001 × 10-1と表され、有効数字が4桁であることを示しています。
- one, two, or three (rule 4)
- infinite (rule 5)
Example ˶‾᷄ -̫ ‾᷅˵
9.7mLの水をできるだけ正確に計量するには、どのような計量器を使いますか。
Answer
10mLのメスシリンダーを使えば、有効数字2桁まで正確に測ることができます。
数学的な操作は、与えられたすべての桁を使って実行し、最終結果を正しい有効数字に丸めることで、妥当な答えを得ることができます。 この方法では、途中の計算を連続して丸めることで、不正確さを複合的に回避することができます。 計算を終えた後、最後の有効数字を切り上げるか切り下げるかは、それに続く桁の値によって決まります。 数字が5以上の場合は、切り上げられます。 例えば、有効数字3桁に丸めた場合、5.215は5.22であるのに対し、5.213は5.21となります。 同様に、有効数字3桁に丸めると、5.005kgは5.01kgに、5.004kgは5.00kgになります。
測定値を足したり引いたりするとき、小数点以下の有効数字が最も少ない値が、答えの小数点以下の有効数字の数を決定します。 有効数字の最小値に対応する列の右側に縦線を引くことは、答えの適切な有効数字を決定する簡単な方法です：
|
3240.7 + 21.2 |
|
| 3261.9 | 36 |
この線は、答えの中で3と6の数字が有意でないことを示しています。 これらの数字が有意でないのは、他の測定値の対応する場所の値が不明だからです(3240.7??)。 その結果、答えは有効数字5桁で3261.9と表されます。 ここでも、5以上の数字は切り上げられます。
実測値を掛けたり割ったりする場合、答えは計算上の最小の有効数字に限定されるため、42.9×8.323＝357.057＝357となります。 42.9 × 8.323 = 357.057 = 357 となります。計算上の2番目の数字は有効数字4桁ですが、計算上の1番目の数字は有効数字3桁であるため、有効数字3桁までの答えを報告することが正当化されます。 ただし、「12.793×12」のように、数字に整数を掛ける場合は例外です。 この場合、12.973に12回足すことになるので、答えの有効数字数は12.973の数字で決まります。
電卓を使用する場合、電卓のディスプレイに表示される数字は、答えの有効数字として報告できる桁数よりも多いことを覚えておくことが重要です。 例えば、5.0kgと表示されているものを3.0Lで割ると、1.66666667と表示される場合があります。
いくつかのステップを含む計算では、丸めをどのように処理するか、具体的には中間結果で丸めを行うか、最後のステップまで延期するかによって、微妙に異なる答えが得られます。
Example ‥‥‥
以下の計算を行い、正しい有効数字数で答えを報告してください。
- 87.25 mL + 3.0201 mL
- 26.843 g + 12.23 g
- 6 × 12.011
- 2(1.008) g + 15.99 g
- 137.3 + 2(35.45）
- ( 118.7 ♪ 2 ♪ g – 35.5 ♪ g )
- ( 47.23 ♪ – 207.2 ♪ 5.92 ♪ g )
- (77.604 ♪ 6.467 ♪ -4.8 ♪ )
- ( 24.86 ♪ 2.0 ♪ 3.26 ♪ 0.98 ♪ )です。 – 3.26 (0.98 ) ♪
- \\((15.9994 ˶ˆ꒳ˆ˵ ) + 2.0158˶)
溶液
- 90.27 mL
- 39.07 g
- 72.066（「有効数字」のルール5を参照）
- 2(1.008) g + 15.99 g = 2.016 g + 15.99 g = 18.01 g
- 137.3 + 2(35.45) = 137.3 + 70.90 = 208.2
- 59.35 g – 35.5 g = 23.9 g
- 47.23 g – 35.0 g = 12.2 g
- 12.00 – 4.8 = 7.2
- 12 – 3.2 = 9
- 143.9946 + 2.0158 = 146.0104
実際には、化学者は一般的に電卓を使って作業し、次の計算ではすべての桁を繰り上げます。 しかし、紙の上で作業する場合は、書き出さなければならない数字の数を最小限にしたいと思うことがよくあります。 丸めが続くと不正確さが増すため、途中の丸めは正しく処理する必要があります。 紙の上で計算するときは、中間結果を丸めて、正当化できる桁数よりも少なくとも1桁多く残し、その数字を次の計算ステップに持ち越すようにします。
本文中の作業例では、計算の途中段階の結果を示すことがよくあります。
本書の例題では、計算の途中段階の結果を表示することがありますが、その際には、その段階で許される正しい有効数字の数だけ結果を表示し、各段階を別の計算として扱います。 この方法は、有効数字の決定ルールを強化することを目的としていますが、場合によっては、最後のステップまですべての桁を繰り上げて計算する電卓を使った場合と、最終的な答えが最後の桁で異なることがあります。