ベルヌーイ分布

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ベルヌーイ分布は、n=0n=1で示される2つの可能な結果を持つ離散分布です。n=0n=0とn=1n=1pn=0q=1-で発生する。pとなります。 ここで0p1となります。 そのため、確率密度関数

P(n)={1-pでn=0。 pはn=1の場合。
(1)

となります。

これは次のようにも書けます

P(n)=p^n(1-)p)^(1-n)となります。
(2)

対応する分布関数は

となります。 これに対応する分布関数は

D(n)={1-?n=0でp。 n=1の場合は1。
(3)

ベルヌーイ分布はWolframLanguageではBernoulliDistributionとして実装されています。

一定の試行回数を一定の成功確率で行うことをベルヌーイ試行といいます。

コイン投げの頭と尻尾の分布はp=q=1/2のベルヌーイ分布の例です。 ベルヌーイ分布は最も単純な離散的分布であり、より複雑な離散的分布の構成要素となります。 何らかの方法で縮小された独立したベルヌーイ試行のシーケンスに基づいて定義された多くの種類の変量の分布は、以下の表にまとめられています（Evans et al.2000, p.32）。

tr

tr

分布 定義
二項分布 n回の試行における成功の数
幾何学的分布 最初の成功の前の失敗の数
定義
負の二項分布 x番目の成功の前の失敗の数 成功

特性関数は

phi(t)=1+p(e^(it)-)1),
(4)

そして、モーメントを発生させる関数は

となります。生成関数は

M(t) = e^(tn)td
(5)
= sum_(n=0)^(1)e^(tn)p^n(1-)p)^(1-n)
(6)
= e^0(1-)p)+e^tpです。
(7)

so

M(t) = (1-)p)+pe^t
(8)
M^'(t)'(t) = pe^t
(9)
M^('')(t)'')(t) = pe^t
(10)
M^((n))(t) = pe^t.
(11)

これは

mu_1^'' = p
(12)
mu_2^'' = p
(13)
mu_n^'' = p.
(14)

と中心モーメント

mu_2 = p(1-)p)
(15)
mu_3 = p(1-)p)(1-2p)
(16)
mu_4 = p(1-)p)(3p^2-3p+1)となります。
(17)

平均、分散、歪度。となります。

mu = p
(18)
sigma^2 = p(1-)p)
(19)
gamma_1 = (1-?2p)/(sqrt(p(1-)p))
(20)
gamma_2 = (6p^2-)6p+1)/(p(1-p))となります。
(21)

推定量を求めるには p^^pNnNとなります。 次のように与えられる推定量を仮定します

p^^=n/N,
(22)

だから、観測されたものが得られる確率は n回の試行で成功する確率は、次のようになります

(N; n)p^n(1-p)^(N-)n)となります。
(23)

推定量p^^の期待値は、したがって次のように与えられます

p^^ = sum_(n=0)^(N)p(N; n)p^n(1-p)^(N-n)
(24)
= (1-)p)^N(1/(1-)p))^Np
(25)
= p,
(26)

ソ p^^pの不偏推定量となります。

平均偏差は次のように与えられます

MD=2p(1-p)。
(27)

となります。

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