Applicazioni di semplici esperimenti di probabilità
L’ingrediente fondamentale della teoria della probabilità è un esperimento che può essere ripetuto, almeno ipoteticamente, in condizioni essenzialmente identiche e che può portare a risultati diversi in prove diverse. L’insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento è chiamato “spazio campione”. L’esperimento di lanciare una moneta una volta ha come risultato uno spazio campione con due possibili risultati, “testa” e “croce”. Il lancio di due dadi ha uno spazio campione con 36 possibili risultati, ognuno dei quali può essere identificato con una coppia ordinata (i, j), dove i e j assumono uno dei valori 1, 2, 3, 4, 5, 6 e denotano le facce che mostrano sui singoli dadi. È importante pensare ai dadi come identificabili (per esempio da una differenza di colore), in modo che il risultato (1, 2) sia diverso da (2, 1). Un “evento” è un sottoinsieme ben definito dello spazio campione. Per esempio, l’evento “la somma delle facce mostrate sui due dadi è uguale a sei” consiste nei cinque risultati (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), e (5, 1).
Encyclopædia Britannica, Inc.
Un terzo esempio consiste nell’estrarre n palline da un’urna contenente palline di vari colori. Un risultato generico di questo esperimento è una n-tupla, dove l’iesima voce specifica il colore della pallina ottenuta all’iesima estrazione (i = 1, 2,…, n). Nonostante la semplicità di questo esperimento, una comprensione approfondita fornisce la base teorica per i sondaggi d’opinione e le indagini a campione. Per esempio, gli individui di una popolazione che favoriscono un particolare candidato in un’elezione possono essere identificati con palline di un colore particolare, quelli che favoriscono un candidato diverso possono essere identificati con un colore diverso, e così via. La teoria della probabilità fornisce la base per apprendere il contenuto dell’urna dal campione di palline estratto dall’urna; un’applicazione è quella di apprendere le preferenze elettorali di una popolazione sulla base di un campione estratto da quella popolazione.
Un’altra applicazione dei modelli semplici di urne è quella di utilizzare gli studi clinici progettati per determinare se un nuovo trattamento per una malattia, un nuovo farmaco, o una nuova procedura chirurgica è migliore di un trattamento standard. Nel caso semplice in cui il trattamento può essere considerato un successo o un fallimento, l’obiettivo della sperimentazione clinica è quello di scoprire se il nuovo trattamento porta più frequentemente al successo rispetto al trattamento standard. I pazienti con la malattia possono essere identificati con delle palline in un’urna. Le palline rosse sono i pazienti che vengono curati dal nuovo trattamento, e le palline nere sono quelle non curate. Di solito c’è un gruppo di controllo, che riceve il trattamento standard. Essi sono rappresentati da una seconda urna con una frazione possibilmente diversa di palline rosse. L’obiettivo dell’esperimento di estrarre un certo numero di palline da ogni urna è quello di scoprire sulla base del campione quale urna ha la frazione maggiore di palline rosse. Una variante di questa idea può essere usata per testare l’efficacia di un nuovo vaccino. Forse il più grande e famoso esempio fu il test del vaccino Salk per la poliomielite condotto nel 1954. Fu organizzato dall’U.S. Public Health Service e coinvolse quasi due milioni di bambini. Il suo successo ha portato alla quasi completa eliminazione della polio come problema sanitario nelle parti industrializzate del mondo. In senso stretto, queste applicazioni sono problemi di statistica, le cui basi sono fornite dalla teoria della probabilità.
Al contrario degli esperimenti descritti sopra, molti esperimenti hanno infiniti risultati possibili. Per esempio, si può lanciare una moneta finché non appare “testa” per la prima volta. Il numero di lanci possibili è n = 1, 2,…. Un altro esempio è far girare una trottola. Per una trottola idealizzata fatta da un segmento di linea retta senza larghezza e imperniata al suo centro, l’insieme dei risultati possibili è l’insieme di tutti gli angoli che la posizione finale della trottola fa con qualche direzione fissa, equivalentemente tutti i numeri reali in [0, 2π]. Molte misurazioni nelle scienze naturali e sociali, come il volume, la tensione, la temperatura, il tempo di reazione, il reddito marginale, e così via, sono fatte su scale continue e almeno in teoria comportano infiniti valori possibili. Se le misurazioni ripetute su soggetti diversi o in tempi diversi sullo stesso soggetto possono portare a risultati diversi, la teoria della probabilità è uno strumento possibile per studiare questa variabilità.
A causa della loro semplicità comparativa, gli esperimenti con spazi campione finiti sono discussi per primi. Nei primi sviluppi della teoria della probabilità, i matematici consideravano solo quegli esperimenti per i quali sembrava ragionevole, sulla base di considerazioni di simmetria, supporre che tutti i risultati dell’esperimento fossero “ugualmente probabili”. Quindi, in un gran numero di prove, tutti gli esiti dovrebbero verificarsi con circa la stessa frequenza. La probabilità di un evento è definita come il rapporto tra il numero di casi favorevoli all’evento – cioè il numero di risultati nel sottoinsieme dello spazio campione che definisce l’evento – e il numero totale di casi. Così, i 36 esiti possibili nel lancio di due dadi sono assunti ugualmente probabili, e la probabilità di ottenere “sei” è il numero di casi favorevoli, 5, diviso 36, o 5/36.
Ora supponiamo che una moneta sia lanciata n volte, e consideriamo la probabilità dell’evento “testa non si verifica” negli n lanci. Un risultato dell’esperimento è una n-tupla, la cui kesima voce identifica il risultato del kesimo lancio. Poiché ci sono due possibili risultati per ogni lancio, il numero di elementi nello spazio campione è 2n. Di questi, solo un risultato corrisponde a non avere teste, quindi la probabilità richiesta è 1/2n.
È solo leggermente più difficile determinare la probabilità di “al massimo una testa”. Oltre al singolo caso in cui non si verifica alcuna testa, ci sono n casi in cui si verifica esattamente una testa, perché può verificarsi al primo, secondo,…, o nesimo lancio. Quindi, ci sono n + 1 casi favorevoli ad ottenere al massimo una testa, e la probabilità desiderata è (n + 1)/2n.