Superposizione quantistica

Una coppia di particelle può essere in qualsiasi combinazione di coppie di posizioni. Uno stato in cui una particella è nella posizione x e l’altra è nella posizione y è scritto | x , y ⟩ {displaystyle |x,y\rangle }

. Lo stato più generale è una sovrapposizione delle possibilità: ∑ x y A ( x , y ) | x , y ⟩ {displaystyle \sum _{xy}A(x,y)|x,y\rangle ⟩,}

La descrizione delle due particelle è molto più grande della descrizione di una particella – è una funzione in un numero doppio di dimensioni. Questo è vero anche in probabilità, quando le statistiche di due variabili casuali sono correlate. Se due particelle non sono correlate, la distribuzione di probabilità per la loro posizione congiunta P(x, y) è il prodotto della probabilità di trovare una in una posizione e l’altra nell’altra posizione:

P ( x , y ) = P x ( x ) P y ( y ) {\displaystyle P(x,y)=P_{x}(x)P_{y}(y)\,}

In meccanica quantistica, due particelle possono essere in stati speciali in cui le ampiezze delle loro posizioni non sono correlate. Per le ampiezze quantistiche, la parola entanglement sostituisce la parola correlazione, ma l’analogia è esatta. Una funzione d’onda disentangolata ha la forma:

A ( x , y ) = ψ x ( x ) ψ y ( y ) {\displaystyle A(x,y)=\psi _{x}(x)\psi _{y}(y)\,}

mentre una funzione d’onda entangled non ha questa forma.

Analogia con la probabilitàModifica

Nella teoria della probabilità c’è un principio simile. Se un sistema ha una descrizione probabilistica, questa descrizione dà la probabilità di qualsiasi configurazione, e date due configurazioni diverse, c’è uno stato che è in parte questo e in parte quello, con coefficienti di numeri reali positivi, le probabilità, che dicono quanto di ciascuno c’è.

Per esempio, se abbiamo una distribuzione di probabilità per dove si trova una particella, essa è descritta dallo “stato”

∑ x ρ ( x ) | x ⟩ {displaystyle \sum _{x}\rho (x)|x\rangle }

Dove ρ {displaystyle \rho }

è la funzione di densità di probabilità, un numero positivo che misura la probabilità che la particella si trovi in una certa posizione.

L’equazione di evoluzione è anche lineare nella probabilità, per ragioni fondamentali. Se la particella ha una certa probabilità di andare dalla posizione x a y e da z a y, la probabilità di andare a y partendo da uno stato che è metà x e metà z è una miscela metà e metà della probabilità di andare a y da ciascuna delle opzioni. Questo è il principio della sovrapposizione lineare nella probabilità.

La meccanica quantistica è diversa, perché i numeri possono essere positivi o negativi. Mentre la natura complessa dei numeri è solo un raddoppio, se si considerano separatamente le parti reali e immaginarie, il segno dei coefficienti è importante. Nella probabilità, due diversi risultati possibili si sommano sempre, per cui se ci sono più opzioni per arrivare a un punto z, la probabilità sale sempre. Nella meccanica quantistica, le diverse possibilità possono annullarsi.

Nella teoria della probabilità con un numero finito di stati, le probabilità possono sempre essere moltiplicate per un numero positivo per rendere la loro somma uguale a uno. Per esempio, se c’è un sistema di probabilità a tre stati:

x | 1 ⟩ + y | 2 ⟩ + z | 3 ⟩ {\displaystyle x|1\rangolo +y|2\rangolo +z|3\rangolo \,

dove le probabilità x , y , z {\displaystyle x,y,z}

sono numeri positivi. Riscalando x,y,z in modo che x + y + z = 1 {\displaystyle x+y+z=1\,}

La geometria dello spazio di stato si rivela essere un triangolo. In generale è un simplex. Ci sono punti speciali in un triangolo o simplex che corrispondono agli angoli, e questi punti sono quelli in cui una delle probabilità è uguale a 1 e le altre sono zero. Questi sono i punti unici in cui la posizione è nota con certezza.

In un sistema meccanico quantistico con tre stati, la funzione d’onda meccanica quantistica è di nuovo una sovrapposizione di stati, ma questa volta il doppio delle quantità senza restrizioni di segno:

A | 1 ⟩ + B | 2 ⟩ + C | 3 ⟩ = ( A r + i A i ) | 1 ⟩ + ( B r + i B i ) | 2 ⟩ + ( C r + i C i ) | 3 ⟩ {\displaystyle A|1\rangle +B|2\rangle +C|3\rangle =(A_{r}+iA_{i})|1\rangle +(B_{r}+iB_{i})|2\rangle +(C_{r}+iC_{i})|3\rangle \,

calibrando le variabili in modo che la somma dei quadrati sia 1, la geometria dello spazio si rivela essere una sfera ad alta dimensione

A r 2 + A i 2 + B r 2 + B i 2 + C r 2 + C i 2 = 1 {\displaystyle A_{r}^{2}+A_{i}^{2}+B_{r}^{2}+B_{i}^{2}+C_{r}^{2}+C_{i}^{2}=1\,

.

Una sfera ha una grande quantità di simmetria, può essere vista in diversi sistemi di coordinate o basi. Quindi, a differenza di una teoria della probabilità, una teoria quantistica ha un gran numero di basi diverse in cui può essere descritta altrettanto bene. La geometria dello spazio di fase può essere vista come un suggerimento che la quantità in meccanica quantistica che corrisponde alla probabilità è il quadrato assoluto del coefficiente della sovrapposizione.

Evoluzione hamiltonianaModifica

I numeri che descrivono le ampiezze per diverse possibilità definiscono la cinematica, lo spazio dei diversi stati. La dinamica descrive come questi numeri cambiano nel tempo. Per una particella che può essere in una qualsiasi delle infinite posizioni discrete, una particella su un reticolo, il principio di sovrapposizione ti dice come fare uno stato:

∑ n ψ n | n ⟩ {displaystyle \sum _{n} \psi _{n}|n\rangle \,}

così che la lista infinita di ampiezze ( … , ψ – 2 , ψ – 1 , ψ 0 , ψ 1 , ψ 2 , … ) {\textstyle (\ldots ,\psi _{-2},\psi _{-1},\psi _{0},\psi _{1},\psi _{2},\ldots )}

descrive completamente lo stato quantico della particella. Questa lista è chiamata vettore di stato, e formalmente è un elemento di uno spazio di Hilbert, uno spazio vettoriale complesso infinito-dimensionale. È usuale rappresentare lo stato in modo che la somma dei quadrati assoluti delle ampiezze sia uno: ∑ ψ n ∗ ψ n = 1 {displaystyle \sum \psi _{n}^{*}\psi _{n}=1}

Per una particella descritta dalla teoria della probabilità che cammina a caso su una linea, l’analogo è l’elenco delle probabilità ( … , P – 2 , P – 1 , P 0 , P 1 , P 2 , … ) {\testo (\ldots ,P_{-2},P_{-1},P_{0},P_{1},P_{2},\ldots )}

, che danno la probabilità di qualsiasi posizione. Le quantità che descrivono come cambiano nel tempo sono le probabilità di transizione K x → y ( t ) {\displaystyle \scriptstyle K_{x\rightarrow y}(t)}

, che dà la probabilità che, partendo da x, la particella finisca in y un tempo t dopo. La probabilità totale di finire in y è data dalla somma di tutte le possibilità P y ( t 0 + t ) = ∑ x P x ( t 0 ) K x → y ( t ) {\displaystyle P_{y}(t_{0}+t)=somma _{x}P_{x}(t_{0})K_{x\rightarrow y}(t)\,

La condizione di conservazione della probabilità afferma che partendo da qualsiasi x, la probabilità totale di finire da qualche parte deve sommarsi a 1:

∑ y K x → y = 1 {\displaystyle \sum _{y}K_{x\rightarrow y}=1\,}

Perché la probabilità totale sia conservata, K è ciò che si chiama una matrice stocastica.

Quando non passa il tempo, non cambia nulla: per 0 tempo trascorso K x → y ( 0 ) = δ x y {\displaystyle \scriptstyle K{x\rightarrow y}(0)=\delta _{xy}}

, la matrice K è zero tranne che da uno stato a se stessa. Quindi, nel caso in cui il tempo sia breve, è meglio parlare del tasso di cambiamento della probabilità invece del cambiamento assoluto della probabilità. P y ( t + d t ) = P y ( t ) + d t ∑ x P x R x → y {\displaystyle P_{y}(t+dt)=P_{y}(t)+dt\,\sum _{x}P_{x}R_{x}rightarrow y},

dove R x → y {\displaystyle \scriptstyle R_{x\rightarrow y}}

è la derivata temporale della matrice K: R x → y = K x → y d t – δ x y d t . {displaystyle R_{x\a6}={K_{x\a6},dt-\delta _{xy}

L’equazione per le probabilità è un’equazione differenziale che a volte è chiamata equazione principale:

d P y d t = ∑ x P x R x → y {displaystyle {dP_{y}

La matrice R è la probabilità per unità di tempo che la particella faccia una transizione da x a y. La condizione che gli elementi della matrice K sommino a uno diventa la condizione che gli elementi della matrice R sommino a zero:

∑ y R x → y = 0 {\displaystyle \sum _{y}R_{x\rightarrow y}=0\,}

Un caso semplice da studiare è quando la matrice R ha una probabilità uguale di andare una unità a sinistra o a destra, descrivendo una particella che ha un tasso costante di camminata casuale. In questo caso R x → y {displaystyle \scriptstyle R_{x\rightarrow y}}

è zero a meno che y sia x + 1, x, o x – 1, quando y è x + 1 o x – 1, la matrice R ha valore c, e affinché la somma dei coefficienti della matrice R sia uguale a zero, il valore di R x → x {\displaystyle R_{x\rightarrow x}

deve essere -2c. Quindi le probabilità obbediscono all’equazione di diffusione discretizzata: d P x d t = c ( P x + 1 – 2 P x + P x – 1 ) {\displaystyle {dP_{x} \sopra dt}=c(P_{x+1}-2P_{x}+P_{x-1})\,}

che, quando c viene opportunamente scalato e la distribuzione P è abbastanza liscia da poter pensare al sistema in un limite continuo, diventa:

∂ P ( x , t ) ∂ t = c ∂ 2 P ∂ x 2 {displaystyle {\parziale P(x,t) ∂su \parziale t}=c{parziale ^{2}P ∂su \parziale x^{2}},

Che è l’equazione di diffusione.

Le ampiezze quantiche danno il tasso al quale le ampiezze cambiano nel tempo, e sono matematicamente esattamente le stesse, tranne che sono numeri complessi. L’analogo della matrice K a tempo finito è chiamato matrice U:

ψ n ( t ) = ∑ m U n m ( t ) ψ m {\displaystyle \psi _{n}(t)=\sum _{m}U_{nm}(t)\psi _{m},}

Siccome la somma dei quadrati assoluti delle ampiezze deve essere costante, U {displaystyle U}

deve essere unitario: ∑ n U n m ∗ U n p = δ m p {displaystyle \sum _{n}U_{nm}^{*}U_{np}=\delta _{mp},}

o, in notazione matriciale,

U † U = I {displaystyle U^{\dagger }U=I},

Il tasso di variazione di U è chiamato Hamiltoniana H, fino ad un fattore tradizionale di i:

H m n = i d d t U m n {\displaystyle H_{mn}=i{d \over dt}U_{mn}}

L’hamiltoniana dà la velocità con cui la particella ha un’ampiezza per passare da m a n. La ragione per cui è moltiplicata per i è che la condizione che U è unitaria si traduce nella condizione:

( I + i H † d t ) ( I – i H d t ) = I { {\displaystyle (I+iH^{\dagger }\\ dt)(I-iH\,dt)=I}

H † – H = 0 {\displaystyle H^{\dagger }-H=0\,

che dice che H è hermitiano. Gli autovalori della matrice Hermitiana H sono quantità reali, che hanno un’interpretazione fisica come livelli di energia. Se il fattore i fosse assente, la matrice H sarebbe antiermitiana e avrebbe autovalori puramente immaginari, che non è il modo tradizionale in cui la meccanica quantistica rappresenta quantità osservabili come l’energia.

Per una particella che ha la stessa ampiezza di muoversi a sinistra e a destra, la matrice ermitiana H è zero tranne che per i vicini più vicini, dove ha il valore c. Se il coefficiente è ovunque costante, la condizione che H sia ermitiana richiede che l’ampiezza di muoversi verso sinistra sia il coniugato complesso dell’ampiezza di muoversi verso destra. L’equazione del moto per ψ {displaystyle \psi }

è l’equazione differenziale del tempo: i d ψ n d t = c ∗ ψ n + 1 + c ψ n – 1 {\displaystyle i{d\psi _{n} \dt=c^{*}}psi _{n+1}+c\psi _{n-1}}

Nel caso in cui destra e sinistra sono simmetriche, c è reale. Ridefinendo la fase della funzione d’onda nel tempo, ψ → ψ e i 2 c t {displaystyle \psi \rightarrow \psi e^{i2ct}}

, le ampiezze per essere in luoghi diversi sono solo riscalate, in modo che la situazione fisica è invariata. Ma questa rotazione di fase introduce un termine lineare. i d ψ n d t = c ψ n + 1 – 2 c ψ n + c ψ n – 1 , {\displaystyle i{d\psi _{n} \over dt}=c\psi _{n+1}-2c\psi _{n}+c\psi _{n-1},}

che è la giusta scelta della fase per prendere il limite del continuo. Quando c {displaystyle c}

è molto grande e ψ {displaystyle \psi }

varia lentamente in modo che il reticolo possa essere pensato come una linea, questa diventa l’equazione di Schrödinger libera: i ∂ ψ ∂ t = – ∂ 2 ψ ∂ x 2 {\displaystyle i{\parziale \psi \parziale t}=-{\parziale ^{2}\psi \parziale x^{2}}}

Se c’è un termine addizionale nella matrice H che è una rotazione di fase extra che varia da punto a punto, il limite del continuo è l’equazione di Schrödinger con una energia potenziale:

i ∂ ψ ∂ t = – ∂ 2 ψ ∂ x 2 + V ( x ) ψ {displaystyle i ∂ ∂ ψ ∂ ∂ t}=- ∂ ψ ∂ ∂ x^{2}+V(x)\psi }

Queste equazioni descrivono il moto di una singola particella in meccanica quantistica non relativistica.

Meccanica quantistica in tempo immaginarioModifica

L’analogia tra meccanica quantistica e probabilità è molto forte, tanto che ci sono molti collegamenti matematici tra loro. In un sistema statistico in tempo discreto, t=1,2,3, descritto da una matrice di transizione per un passo temporale K m → n {\displaystyle \scriptstyle K_{m\rightarrow n}}

, la probabilità di andare tra due punti dopo un numero finito di passi temporali può essere rappresentata come una somma su tutti i percorsi della probabilità di prendere ogni percorso: K x → y ( T ) = ∑ x ( t ) ∏ t K x ( t ) x ( t + 1 ) {displaystyle K_{x\rightarrow y}(T)=\sum _{x(t)}prod _{t}K_{x(t)x(t+1)},}

dove la somma si estende su tutti i percorsi x ( t ) {displaystyle x(t)}

con la proprietà che x ( 0 ) = 0 {\displaystyle x(0)=0}

e x ( T ) = y {\displaystyle x(T)=y}

. L’espressione analoga in meccanica quantistica è l’integrale di percorso.

Una generica matrice di transizione nella probabilità ha una distribuzione stazionaria, che è l’eventuale probabilità di trovarsi in qualsiasi punto indipendentemente dal punto di partenza. Se c’è una probabilità non nulla per qualsiasi due percorsi di raggiungere lo stesso punto allo stesso tempo, questa distribuzione stazionaria non dipende dalle condizioni iniziali. Nella teoria della probabilità, la probabilità m per la matrice stocastica obbedisce all’equilibrio dettagliato quando la distribuzione stazionaria ρ n {\displaystyle \rho _{n}}

ha la proprietà ρ n K n → m = ρ m K m → n {\displaystyle \rho _{n}K_{n\rightarrow m}=\rho _{m}K_{m\rightarrow n},}

L’equilibrio dettagliato dice che la probabilità totale di passare da m a n nella distribuzione stazionaria, che è la probabilità di partire da m ρ m {displaystyle \rho _{m}}

moltiplicato per la probabilità di passare da m a n, è uguale alla probabilità di andare da n a m, in modo che il flusso totale di probabilità avanti e indietro nell’equilibrio sia zero lungo qualsiasi salto. La condizione è automaticamente soddisfatta quando n=m, quindi ha la stessa forma se scritta come condizione per la matrice R della probabilità di transizione. ρ n R n → m = ρ m R m → n {\displaystyle \rho _{n}R_rho_n=\rho _{m}R_{m\rightarrow n},}

Quando la matrice R obbedisce all’equilibrio dettagliato, la scala delle probabilità può essere ridefinita utilizzando la distribuzione stazionaria in modo che non sommino più a 1:

p n ′ = ρ n p n {\displaystyle p’_{n}={sqrt {\rho _{n}}};p_{n}\,}

Nelle nuove coordinate, la matrice R viene riscalata come segue:

ρ n R n → m 1 ρ m = H n m {\displaystyle {\sqrt {\rho _{n}}}R_{n\rightarrow m}{1 \sqrt {\rho _{m}}}}=H_{nm},}