La relazione tra la spaziatura del reticolo e gli angoli di incidenza e di uscita della luce. di una stanza
La relazione tra la spaziatura del reticolo e gli angoli dei fasci di luce incidente e diffratta è nota come equazione del reticolo. Secondo il principio di Huygens-Fresnel, ogni punto sul fronte d’onda di un’onda che si propaga può essere considerato come una sorgente puntiforme, e il fronte d’onda in qualsiasi punto successivo può essere trovato sommando i contributi di ciascuna di queste singole sorgenti puntiformi. I reticoli possono essere di tipo “riflettente” o “trasmissivo”, analoghi a uno specchio o a una lente, rispettivamente. Un reticolo ha un “modo di ordine zero” (dove m = 0), in cui non c’è diffrazione e un raggio di luce si comporta secondo le leggi della riflessione e della rifrazione come in uno specchio o una lente, rispettivamente.
Un reticolo idealizzato è costituito da un insieme di fessure di spaziatura d che deve essere più ampia della lunghezza d’onda di interesse per causare la diffrazione. Assumendo un’onda piana di luce monocromatica di lunghezza d’onda λ con incidenza normale (perpendicolare al reticolo), ogni fenditura del reticolo agisce come una quasi sorgente puntiforme da cui la luce si propaga in tutte le direzioni (anche se questo è tipicamente limitato ad un emisfero). Dopo che la luce interagisce con il reticolo, la luce diffratta è composta dalla somma delle componenti d’onda interferenti provenienti da ogni fenditura del reticolo. In qualsiasi punto dello spazio attraverso il quale la luce diffratta può passare, la lunghezza del percorso verso ogni fenditura del reticolo varia. Poiché la lunghezza del percorso varia, in genere, variano anche le fasi delle onde in quel punto da ciascuna delle fenditure. Così, si sommano o si sottraggono a vicenda per creare picchi e valli attraverso l’interferenza additiva e distruttiva. Quando la differenza di percorso tra la luce proveniente da fessure adiacenti è uguale alla metà della lunghezza d’onda, λ/2, le onde sono fuori fase, e quindi si annullano a vicenda per creare punti di intensità minima. Allo stesso modo, quando la differenza di percorso è λ, le fasi si sommano e si verificano i massimi. Per un raggio incidente normalmente su una griglia, i massimi si verificano ad angoli θm, che soddisfano la relazione d sinθm/λ = | m |, dove θm è l’angolo tra il raggio diffratto e il vettore normale della griglia, e d è la distanza dal centro di una fenditura al centro della fenditura adiacente, e m è un intero che rappresenta la modalità di propagazione di interesse.
Quindi, quando la luce è normalmente incidente sul reticolo, la luce diffratta ha massimi agli angoli θm dati da:
d sin θ m = m λ . d sin θ m = m λ .
Si può dimostrare che se un’onda piana è incidente con qualsiasi angolo arbitrario θi, l’equazione del reticolo diventa:
d ( sin θ i – sin θ m ) = m λ . {\displaystyle d(\sin \theta _{i}-\sin \theta _{m})=m\lambda .}
Quando si risolve per i massimi degli angoli diffratti, l’equazione è:
θ m = arcsin ( sin θ i – m λ d ) . Se si risolve l’equazione per i massimi dell’angolo di diffrazione è: θ m = arcsin ( sin θ i – m λ d ) .
Si noti che queste equazioni assumono che entrambi i lati del reticolo siano in contatto con lo stesso mezzo (ad es.La luce che corrisponde alla trasmissione diretta (o alla riflessione speculare nel caso di un reticolo di riflessione) è chiamata ordine zero, ed è indicata con m = 0. Gli altri massimi si verificano ad angoli rappresentati da numeri interi non nulli m. Si noti che m può essere positivo o negativo, risultando in ordini diffratti su entrambi i lati del fascio di ordine zero.
Questa derivazione dell’equazione del reticolo è basata su un reticolo idealizzato. Tuttavia, la relazione tra gli angoli dei fasci diffratti, la spaziatura del reticolo e la lunghezza d’onda della luce si applica a qualsiasi struttura regolare della stessa spaziatura, perché la relazione di fase tra la luce diffusa da elementi adiacenti del reticolo rimane la stessa. La distribuzione dettagliata della luce diffratta dipende dalla struttura dettagliata degli elementi del reticolo così come dal numero di elementi nel reticolo, ma dà sempre i massimi nelle direzioni date dall’equazione del reticolo.
Si possono fare dei reticoli in cui varie proprietà della luce incidente sono modulate in uno schema periodico; queste includono
- la trasparenza (reticoli di diffrazione in ampiezza di trasmissione);
- la riflettanza (reticoli di diffrazione in ampiezza di riflessione);
- l’indice di rifrazione o la lunghezza del cammino ottico (reticoli di diffrazione di fase);
- la direzione dell’asse ottico (reticoli di diffrazione dell’asse ottico).
L’equazione del reticolo si applica in tutti questi casi.
Elettrodinamica quantisticaModifica
L’elettrodinamica quantistica (QED) offre un’altra derivazione delle proprietà di un reticolo di diffrazione in termini di fotoni come particelle (a qualche livello). La QED può essere descritta intuitivamente con la formulazione integrale del percorso della meccanica quantistica. Come tale può modellare i fotoni come se seguissero potenzialmente tutti i percorsi da una sorgente a un punto finale, ogni percorso con una certa ampiezza di probabilità. Queste ampiezze di probabilità possono essere rappresentate come un numero complesso o un vettore equivalente – o, come Richard Feynman le chiama semplicemente nel suo libro sulla QED, “frecce”.
Per la probabilità che un certo evento accada, si sommano le ampiezze di probabilità per tutti i modi possibili in cui l’evento può accadere, e poi si prende il quadrato della lunghezza del risultato. L’ampiezza di probabilità per un fotone da una sorgente monocromatica di arrivare in un certo punto finale in un dato momento, in questo caso, può essere modellata come una freccia che gira rapidamente fino a quando viene valutata quando il fotone raggiunge il suo punto finale. Per esempio, per la probabilità che un fotone si rifletta da uno specchio e sia osservato in un dato punto un determinato periodo di tempo dopo, si imposta l’ampiezza della probabilità del fotone che gira quando lascia la sorgente, la segue fino allo specchio e poi al suo punto finale, anche per percorsi che non implicano il rimbalzo dallo specchio con angoli uguali. Si può quindi valutare l’ampiezza di probabilità nel punto finale del fotone; poi, si può integrare su tutte queste frecce (vedi somma vettoriale), e elevare al quadrato la lunghezza del risultato per ottenere la probabilità che questo fotone si rifletta sullo specchio nel modo pertinente. I tempi di questi percorsi sono quelli che determinano l’angolo della freccia dell’ampiezza di probabilità, poiché si può dire che “girano” ad un tasso costante (che è legato alla frequenza del fotone).
I tempi dei percorsi vicino al luogo di riflessione classica dello specchio sono quasi gli stessi, quindi le ampiezze di probabilità puntano quasi nella stessa direzione – quindi, hanno una somma considerevole. Esaminando i percorsi verso i bordi dello specchio si scopre che i tempi dei percorsi vicini sono molto diversi tra loro, e quindi si finisce per sommare vettori che si annullano rapidamente. Quindi, c’è una maggiore probabilità che la luce segua un percorso di riflessione quasi classico piuttosto che un percorso più lontano. Tuttavia, un reticolo di diffrazione può essere fatto da questo specchio, raschiando via aree vicino al bordo dello specchio che di solito annullano le ampiezze vicine – ma ora, poiché i fotoni non riflettono dalle porzioni raschiate, le ampiezze di probabilità che punterebbero tutte, per esempio, a quarantacinque gradi, possono avere una somma considerevole. Così, questo permette alla luce della giusta frequenza di sommare una maggiore ampiezza di probabilità, e come tale possedere una maggiore probabilità di raggiungere il punto finale appropriato.
Questa particolare descrizione comporta molte semplificazioni: una sorgente puntiforme, una “superficie” da cui la luce può riflettere (trascurando così le interazioni con gli elettroni) e così via. La più grande semplificazione è forse nel fatto che la “rotazione” delle frecce dell’ampiezza di probabilità è in realtà più accuratamente spiegata come una “rotazione” della sorgente, poiché le ampiezze di probabilità dei fotoni non “girano” mentre sono in transito. Otteniamo la stessa variazione delle ampiezze di probabilità lasciando che il tempo in cui il fotone ha lasciato la sorgente sia indeterminato – e il tempo del percorso ci dice ora quando il fotone avrebbe lasciato la sorgente, e quindi quale sarebbe l’angolo della sua “freccia”. Tuttavia, questo modello e questa approssimazione sono ragionevoli per illustrare concettualmente un reticolo di diffrazione. Anche la luce di una frequenza diversa può riflettersi sullo stesso reticolo di diffrazione, ma con un punto finale diverso.