Nel calcolo, nella geometria analitica e nelle aree correlate, una funzione lineare è un polinomio di grado uno o meno, compreso il polinomio zero (quest’ultimo non è considerato di grado zero).
Quando la funzione è di una sola variabile, è della forma
f ( x ) = a x + b , {\displaystyle f(x)=ax+b,}
dove a e b sono costanti, spesso numeri reali. Il grafico di tale funzione di una variabile è una linea non verticale. a è spesso indicato come la pendenza della linea, e b come l’intercetta.
Per una funzione f ( x 1 , … , x k ) {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})}
di qualsiasi numero finito di variabili, la formula generale è f ( x 1 , … , x k ) = b + a 1 x 1 + ⋯ + a k x k , {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})=b+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k},}
e il grafico è un iperpiano di dimensione k.
Anche una funzione costante è considerata lineare in questo contesto, in quanto è un polinomio di grado zero o è il polinomio zero. Il suo grafico, quando c’è una sola variabile, è una linea orizzontale.
In questo contesto, una funzione che è anche una mappa lineare (l’altro significato) può essere definita una funzione lineare omogenea o una forma lineare. Nel contesto dell’algebra lineare, le funzioni polinomiali di grado 0 o 1 sono le mappe affini a valore scalare.