Denominata dal matematico francese Joseph Fourier, la trasformata di Fourier è una procedura matematica che ci permette di determinare il contenuto di frequenza di una funzione. Per gli ingegneri elettrici, la trasformata di Fourier è tipicamente applicata a funzioni di tempo che chiamiamo segnali.
Decomposizione sinusoidale
Un grafico di tensione o corrente in funzione del tempo, come lo vedremmo su un oscilloscopio, è una rappresentazione intuitiva del comportamento del segnale. Non è, tuttavia, l’unica rappresentazione utile.
In molti casi – per esempio, nella progettazione di sistemi RF – siamo interessati principalmente al comportamento periodico dei segnali. Più specificamente, siamo interessati a capire un segnale rispetto alla periodicità sinusoidale, perché le sinusoidi sono l’unica espressione matematica della frequenza “pura”.
La trasformata di Fourier rivela la periodicità elementare di un segnale decomponendo il segnale nelle sue frequenze sinusoidali costituenti e identificando le grandezze e le fasi di queste frequenze costituenti.
La parola “decomporre” è fondamentale qui. La trasformata di Fourier ci insegna a pensare a un segnale nel dominio del tempo come a una forma d’onda composta da forme d’onda sinusoidali sottostanti con varie grandezze e fasi.
Un’onda quadra, per esempio, può essere decomposta in una serie infinita di sinusoidi con ampiezze che diminuiscono costantemente e frequenze che aumentano costantemente. La serie esatta, per un’onda quadra accoppiata in AC di periodo T e ampiezza A, può essere scritta come segue:
Possiamo convertire questo nella forma seguente, che è un po’ più intuitiva:
dove f è la frequenza, in hertz, dell’onda quadra.
Il seguente grafico mostra l’onda quadra originale, in blu, e le prime otto sinusoidi della serie infinita.
Dopo aver visto questo grafico, potresti essere ancora un po’ scettico sul fatto che queste sinusoidi possano essere combinate in un’onda quadra. Il prossimo grafico vi convincerà, però. Mostra l’onda quadra originale e la forma d’onda prodotta aggiungendo tutte le sinusoidi costituenti mostrate sopra.
Funzioni di tempo e frequenza
Quando calcoliamo una trasformata di Fourier, cominciamo con una funzione di tempo, f(t), e attraverso la decomposizione matematica, produciamo una funzione di frequenza, F(ω). (In genere usiamo la frequenza angolare nelle discussioni teoriche sulla trasformata di Fourier.)
Valutando F(ω) ad una specifica frequenza angolare, diciamo 100 rad/s, ci dà la grandezza e la fase della componente sinusoidale di f(t) che ha una frequenza di 100 rad/s. Se f(t) non ha una componente sinusoidale a 100 rad/s, la grandezza sarà zero.
Ti starai chiedendo come una funzione, F(ω), possa riportare sia la grandezza che la fase. La trasformata di Fourier produce una funzione a valore complesso, il che significa che la trasformata stessa non è né la grandezza delle componenti di frequenza in f(t) né la fase di queste componenti. Come con qualsiasi numero complesso, dobbiamo eseguire ulteriori calcoli per estrarre la grandezza o la fase.
Il concetto di una trasformazione a valore complesso è un po’ più intuitivo quando lavoriamo con una trasformata di Fourier discreta, piuttosto che una trasformata “standard” in cui iniziamo con una funzione simbolica del tempo e finiamo con una funzione simbolica della frequenza.
La trasformata di Fourier discreta opera su una sequenza di valori numerici, e produce una sequenza di coefficienti di Fourier. Questi coefficienti sono tipici numeri complessi (cioè, hanno la forma a + jb), e di solito usiamo la grandezza di questi numeri complessi, calcolata come √(a2+b2), quando analizziamo il contenuto di frequenza di un segnale.
Tracciare la trasformata di Fourier
I grafici del contenuto di frequenza sono estremamente comuni nelle schede tecniche, nei rapporti di test, nei libri di testo e così via. Spesso ci riferiamo a un grafico della grandezza rispetto alla frequenza come uno spettro – per esempio, “diamo un’occhiata allo spettro del segnale” significa “diamo un’occhiata a una sorta di rappresentazione visiva delle informazioni sulla grandezza nella trasformata di Fourier.”
Il seguente grafico mostra lo spettro di un’onda quadra accoppiata in AC con un’ampiezza di 1 e una frequenza di 1 Hz.
Se si confrontano le ampiezze tracciate dei “picchi” di frequenza con le ampiezze delle corrispondenti componenti sinusoidali nella serie infinita discussa sopra, si vedrà che sono coerenti.
Calcolo della trasformata di Fourier
Siamo quasi alla fine di questo articolo, e non vi ho ancora detto come si genera effettivamente la trasformata di Fourier di un segnale definito matematicamente.
Ad essere onesti, non vedo la necessità di esplorare a fondo i dettagli matematici in un articolo introduttivo: l’analisi nel dominio della frequenza al giorno d’oggi è dominata da tecniche user-friendly, basate su software, e gli ingegneri non passano molto tempo a convertire espressioni simboliche del dominio del tempo in espressioni simboliche del dominio della frequenza.
Nonostante, con qualcosa di così importante come la trasformata di Fourier, è bene essere almeno a conoscenza della matematica sottostante. Quindi, senza ulteriori indugi, ecco come convertiamo f(t) in F(ω):
Conclusione
Spero che questo articolo abbia fornito una spiegazione chiara e intuitiva di cosa sia la trasformata di Fourier e di come essa ci dia un’ulteriore comprensione della natura di un segnale.
La trasformata di Fourier è solo l’inizio di una vasta gamma di argomenti correlati; se vuoi saperne di più, dai un’occhiata agli articoli elencati qui sotto.