Calcolo del valore di un campo elettrico

Potenziale elettrico

Il potenziale elettrico è proprio una funzione scalare. Il potenziale elettrico è legato al lavoro fatto da una forza esterna quando trasporta lentamente una carica da una posizione ad un’altra in un ambiente contenente altre cariche a riposo. La differenza tra il potenziale nel punto A e il potenziale nel punto B è definita dall’equazione

Come notato sopra, il potenziale elettrico si misura in volt. Poiché il lavoro si misura in joule nel Système Internationale d’Unités (SI), un volt è equivalente a un joule per coulomb. La carica q è presa come una piccola carica di prova; si assume che la carica di prova non disturbi la distribuzione delle altre cariche durante il suo trasporto dal punto B al punto A.

Per illustrare il lavoro nell’equazione (5), la figura 4 mostra una carica positiva +Q. Considera il lavoro coinvolto nel trasporto di una seconda carica q da B ad A. Lungo il percorso 1, il lavoro è fatto per compensare la repulsione elettrica tra le due cariche. Se invece si sceglie il percorso 2, non si fa lavoro nello spostare q da B a C, poiché il moto è perpendicolare alla forza elettrica; spostando q da C a D, il lavoro è, per simmetria, identico a quello da B ad A, e non è richiesto lavoro da D ad A. Così, il lavoro totale fatto nello spostare q da B ad A è lo stesso per entrambi i percorsi. Si può dimostrare facilmente che lo stesso è vero per qualsiasi percorso che va da B ad A. Quando le posizioni iniziale e finale della carica q si trovano su una sfera centrata sulla posizione della carica +Q, non viene fatto lavoro; il potenziale elettrico nella posizione iniziale ha lo stesso valore di quello nella posizione finale. La sfera in questo esempio è chiamata superficie equipotenziale. Quando l’equazione (5), che definisce la differenza di potenziale tra due punti, viene combinata con la legge di Coulomb, si ottiene la seguente espressione per la differenza di potenziale VA – VB tra i punti A e B:dove ra e rb sono le distanze dei punti A e B da Q. Scegliendo B lontano dalla carica Q e impostando arbitrariamente il potenziale elettrico a zero lontano dalla carica si ottiene una semplice equazione per il potenziale in A:

Il contributo di una carica al potenziale elettrico in qualche punto dello spazio è quindi una quantità scalare direttamente proporzionale alla grandezza della carica e inversamente proporzionale alla distanza tra il punto e la carica. Per più di una carica, si sommano semplicemente i contributi delle varie cariche. Il risultato è una mappa topologica che dà un valore del potenziale elettrico per ogni punto nello spazio.

La figura 5 fornisce viste tridimensionali che illustrano l’effetto della carica positiva +Q situata nell’origine su una seconda carica positiva q (figura 5A) o su una carica negativa -q (figura 5B); il “paesaggio” di energia potenziale è illustrato in ogni caso. L’energia potenziale di una carica q è il prodotto qV della carica e del potenziale elettrico nella posizione della carica. Nella figura 5A, la carica positiva q dovrebbe essere spinta da qualche agente esterno per avvicinarsi alla posizione di +Q perché, man mano che q si avvicina, è soggetta a una forza elettrica sempre più repulsiva. Per la carica negativa -q, l’energia potenziale nella figura 5B mostra, invece di una ripida collina, un profondo imbuto. Il potenziale elettrico dovuto a +Q è ancora positivo, ma l’energia potenziale è negativa, e la carica negativa -q, in modo del tutto analogo a una particella sotto l’influenza della gravità, è attratta verso l’origine dove si trova la carica +Q.

Il campo elettrico è legato alla variazione del potenziale elettrico nello spazio. Il potenziale fornisce un comodo strumento per risolvere un’ampia varietà di problemi di elettrostatica. In una regione dello spazio in cui il potenziale varia, una carica è soggetta a una forza elettrica. Per una carica positiva la direzione di questa forza è opposta al gradiente del potenziale, cioè nella direzione in cui il potenziale diminuisce più rapidamente. Una carica negativa sarebbe soggetta a una forza nella direzione dell’aumento più rapido del potenziale. In entrambi i casi, la grandezza della forza è proporzionale al tasso di cambiamento del potenziale nelle direzioni indicate. Se il potenziale in una regione dello spazio è costante, non c’è forza né sulla carica positiva né su quella negativa. In una batteria per auto da 12 volt, le cariche positive tendono ad allontanarsi dal terminale positivo e a dirigersi verso il terminale negativo, mentre le cariche negative tendono a muoversi nella direzione opposta, cioè dal terminale negativo a quello positivo. Quest’ultimo si verifica quando un filo di rame, in cui ci sono elettroni liberi di muoversi, è collegato tra i due terminali della batteria.