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Sezione 1-4: Polinomi
In questa sezione inizieremo a guardare i polinomi. I polinomi appariranno praticamente in ogni sezione di ogni capitolo nel resto di questo materiale e quindi è importante che tu li capisca.
Inizieremo con i polinomi in una variabile. I polinomi in una variabile sono espressioni algebriche che consistono di termini nella forma \(a{x^n}\ dove \(n) è un numero intero non negativo (cioè positivo o zero) e \(a) è un numero reale ed è chiamato il coefficiente del termine. Il grado di un polinomio in una variabile è il più grande esponente nel polinomio.
Nota che spesso lasciamo perdere la parte “in una variabile” e diciamo solo polinomio.
Qui ci sono esempi di polinomi e dei loro gradi.
Quindi, un polinomio non deve necessariamente contenere tutte le potenze di \(x\) come vediamo nel primo esempio. Inoltre, i polinomi possono consistere in un singolo termine come vediamo nel terzo e nel quinto esempio.
Dovremmo probabilmente discutere un po’ di più l’ultimo esempio. Questo è davvero un polinomio anche se non sembra tale. Ricordate che un polinomio è qualsiasi espressione algebrica che consiste di termini nella forma \(a{x^n}\). Un altro modo di scrivere l’ultimo esempio è
\
Scritto in questo modo rende chiaro che l’esponente sulla \(x\) è uno zero (questo spiega anche il grado…) e così possiamo vedere che è davvero un polinomio in una variabile.
Ecco alcuni esempi di cose che non sono polinomi.
\
Il primo non è un polinomio perché ha un esponente negativo e tutti gli esponenti in un polinomio devono essere positivi.
Per vedere perché il secondo non è un polinomio riscriviamolo un po’.
\
Convertendo la radice in forma esponenziale vediamo che c’è una radice razionale nell’espressione algebrica. Tutti gli esponenti nell’espressione algebrica devono essere interi non negativi perché l’espressione algebrica sia un polinomio. Come regola generale, se un’espressione algebrica ha un radicale in essa, allora non è un polinomio.
Riscriviamo anche la terza per vedere perché non è un polinomio.
Quindi, questa espressione algebrica ha davvero un esponente negativo in essa e sappiamo che non è permesso. Un’altra regola pratica è che se ci sono variabili nel denominatore di una frazione, allora l’espressione algebrica non è un polinomio.
Nota che questo non significa che i radicali e le frazioni non sono ammessi nei polinomi. Semplicemente non possono coinvolgere le variabili. Per esempio, il seguente è un polinomio
\5},{x^4} – \frac{7}{12}{x^2} + \frac{1}{{sqrt 8}}x – 5\,\frac,\sqrt{113}}]
Ci sono molti radicali e frazioni in questa espressione algebrica, ma i denominatori delle frazioni sono solo numeri e i radicandi di ogni radicale sono solo numeri. Ogni \(x\) nell’espressione algebrica appare nel numeratore e l’esponente è un intero positivo (o zero). Perciò questo è un polinomio.
In seguito, diamo un’occhiata veloce ai polinomi in due variabili. I polinomi in due variabili sono espressioni algebriche costituite da termini nella forma \(a{x^n}{y^m}). Il grado di ogni termine in un polinomio in due variabili è la somma degli esponenti in ogni termine e il grado del polinomio è la più grande di tali somme.
Questi sono alcuni esempi di polinomi in due variabili e i loro gradi.
In questi tipi di polinomi non è necessario che ogni termine abbia sia \(x) che \(y), infatti come vediamo nell’ultimo esempio non è necessario che ci siano termini che contengano sia \(x) che \(y). Inoltre, il grado del polinomio può derivare da termini che coinvolgono una sola variabile. Si noti anche che più termini possono avere lo stesso grado.
Possiamo anche parlare di polinomi in tre variabili, o quattro variabili o tutte le variabili di cui abbiamo bisogno. La maggior parte dei polinomi che vedremo in questo corso sono polinomi in una variabile e quindi la maggior parte degli esempi nel resto di questa sezione saranno polinomi in una variabile. Un monomio è un polinomio che consiste esattamente di un termine. Un binomio è un polinomio che consiste esattamente di due termini. Infine, un trinomio è un polinomio che consiste esattamente di tre termini. Useremo questi termini di tanto in tanto, quindi probabilmente dovreste avere almeno una certa familiarità con essi.
Ora abbiamo bisogno di parlare di addizione, sottrazione e moltiplicazione di polinomi. Noterete che abbiamo tralasciato la divisione di polinomi. Questo sarà discusso in una sezione successiva dove useremo la divisione di polinomi abbastanza spesso.
Prima di iniziare effettivamente questa discussione dobbiamo ricordare la legge distributiva. Questa sarà usata ripetutamente nel resto di questa sezione. Ecco la legge distributiva.
\p> Cominceremo con l’addizione e la sottrazione di polinomi. Probabilmente è meglio farlo con un paio di esempi.
- Aggiungi \(6{x^5} – 10{x^2} + x – 45\) a \(13{x^2} – 9x + 4\).
- Sottrai \(5{x^3} – 9{x^2} + x – 3\) da \({x^2} + x + 1\).
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La prima cosa che dovremmo fare è scrivere effettivamente l’operazione che ci viene richiesta.
In questo caso le parentesi non sono necessarie poiché stiamo sommando i due polinomi. Sono lì semplicemente per rendere chiara l’operazione che stiamo eseguendo. Per sommare due polinomi tutto ciò che facciamo è combinare termini simili. Questo significa che per ogni termine con lo stesso esponente aggiungeremo o sottrarremo il coefficiente di quel termine.
In questo caso questo è,
\div>
b Sottrai \(5{x^3} – 9{x^2} + x – 3\) da \({x^2} + x + 1\). Mostra la soluzione
Ancora una volta, scriviamo l’operazione che stiamo facendo qui. Dovremo anche stare molto attenti all’ordine in cui scriviamo le cose. Ecco l’operazione
\
Questa volta le parentesi intorno al secondo termine sono assolutamente necessarie. Stiamo sottraendo l’intero polinomio e la parentesi deve essere lì per essere sicuri che stiamo effettivamente sottraendo l’intero polinomio.
Nel fare la sottrazione la prima cosa che faremo è distribuire il segno meno attraverso la parentesi. Questo significa che cambieremo il segno su ogni termine del secondo polinomio. Notate che tutto quello che stiamo facendo qui è moltiplicare un “-1” attraverso il secondo polinomio usando la legge distributiva. Dopo aver distribuito il meno attraverso la parentesi combiniamo di nuovo termini simili.
Qui c’è il lavoro per questo problema.
Nota che a volte un termine cadrà completamente dopo aver combinato termini simili come ha fatto qui il \(x\). Questo accadrà occasionalmente, quindi non eccitatevi quando succede.
Ora passiamo alla moltiplicazione dei polinomi. Ancora una volta, è meglio farlo con un esempio.
- (4{x^2}{sinistra( {{x^2} – 6x + 2} \destra)\)
- (\sinistra( {3x + 5} \destra)\sinistra( {x – 10} \destra)\)
- (\sinistra( {4{x^2} – x} \destra)\sinistra( {6 – 3x} \destra)\)
- (\sinistra( {3x + 7y} \destra)\sinistra( {x – 2y} a destra)
- (\sinistra( {2x + 3} a destra)\sinistra( {{x^2} – x + 1} a destra)\)
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Questa non è altro che una rapida applicazione della legge distributiva.
Questo userà il metodo FOIL per moltiplicare questi due binomi.
\
Ricorda che il metodo FOIL funziona solo quando si moltiplicano due binomi. Se uno dei polinomi non è un binomio allora il metodo FOIL non funzionerà.
Nota anche che tutto quello che stiamo facendo qui è moltiplicare ogni termine del secondo polinomio per ogni termine del primo polinomio. L’acronimo FOIL è semplicemente un modo conveniente per ricordarlo.
c \(\sinistra( {4{x^2} – x} \destra)\sinistra( {6 – 3x} \destra)\) Mostra la soluzione
Ancora una volta, ci limiteremo a FOILare questo.
\
d \(\sinistra( {3x + 7y} destra)\sinistra( {x – 2y} destra)\) Mostra la soluzione
Possiamo ancora FOILare i binomi che coinvolgono più di una variabile, quindi non entusiasmatevi per questo tipo di problemi quando si presentano.
\div>
e \(\sinistra( {2x + 3} \destra)\sinistra( {{x^2} – x + 1} \destra)\) Mostra la soluzione
In questo caso il metodo FOIL non funziona perché il secondo polinomio non è un binomio. Ricordiamo però che l’acronimo FOIL era solo un modo per ricordare che moltiplichiamo ogni termine del secondo polinomio per ogni termine del primo polinomio.
Questo è tutto ciò che dobbiamo fare qui.
Lavoriamo un’altra serie di esempi che illustreranno alcune belle formule per alcuni prodotti speciali. Daremo le formule dopo l’esempio.
- (\sinistra( {3x + 5} \destra)\sinistra( {3x – 5} \destra)\)
- (\sinistra( {2x + 6} \destra)^2})
- (\sinistra( {1 – 7x} \destra)^2})
- (4{sinistra( {x + 3} \destra)^2})
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Possiamo usare il FOIL su questo, quindi facciamolo.
\p>
In questo caso i termini centrali cadono fuori.
b \(\sinistra( {2x + 6} \destra)^2}\) Mostra la soluzione
Ora ricorda che \4^2} = \sinistra( 4 \destra)\sinistra( 4 \destra) = 16\). La quadratura con i polinomi funziona allo stesso modo. Quindi in questo caso abbiamo,
\div>
c \(\sinistra( {1 – 7x} \destra)^2}}) Mostra la soluzione
Questa è quasi identica alla parte precedente.
\div>
d \(4{sinistra( {x + 3} \destra)^2}}) Show Solution
Questa parte è qui per ricordarci che dobbiamo stare attenti ai coefficienti. Quando abbiamo un coefficiente dobbiamo fare prima l’esponenziazione e poi moltiplicare il coefficiente.
\
Puoi moltiplicare un coefficiente attraverso una serie di parentesi solo se c’è un esponente di “1” sulla parentesi. Se c’è un qualsiasi altro esponente, allora non si può moltiplicare il coefficiente attraverso le parentesi.
Solo per illustrare il punto.
\p>
Questa non è chiaramente la stessa cosa della risposta corretta, quindi fate attenzione!
Le parti di questo esempio usano tutte uno dei seguenti prodotti speciali.
\p>
Fate attenzione a non commettere i seguenti errori!
\p>
Sono errori molto comuni che gli studenti fanno spesso quando iniziano a imparare come moltiplicare i polinomi.