1.5: Incertezza nella misura

Cifre significative

Nessuna misura è esente da errori. L’errore è introdotto dalle limitazioni degli strumenti e dei dispositivi di misurazione (come la dimensione delle divisioni su un cilindro graduato) e l’imperfezione dei sensi umani (cioè, il rilevamento). Anche se gli errori nei calcoli possono essere enormi, non contribuiscono all’incertezza delle misure. I chimici descrivono il grado stimato di errore in una misurazione come l’incertezza della misurazione, e sono attenti a riportare tutti i valori misurati usando solo cifre significative, numeri che descrivono il valore senza esagerare il grado in cui si sa che è preciso. I chimici riportano come significativi tutti i numeri conosciuti con assoluta certezza, più un’altra cifra che si capisce contenere qualche incertezza. L’incertezza nella cifra finale è di solito assunta come ±1, se non diversamente specificato.

Le seguenti regole sono state sviluppate per contare il numero di cifre significative in una misurazione o calcolo:

1. Ogni cifra non zero è significativa.
2. Ogni zero tra cifre non zero è significativo. Il numero 2005, per esempio, ha quattro cifre significative.
3. Qualsiasi zero usato come segnaposto prima della prima cifra non zero non è significativo. Così 0,05 ha una cifra significativa perché gli zeri sono usati per indicare la posizione della cifra 5. Al contrario, 0,050 ha due cifre significative perché le ultime due cifre corrispondono al numero 50; l’ultimo zero non è un segnaposto. Come ulteriore esempio, 5.0 ha due cifre significative perché lo zero non è usato per mettere il 5 ma per indicare 5.0.
4. Quando un numero non contiene un punto decimale, gli zeri aggiunti dopo un numero non zero possono essere significativi o meno. Un esempio è il numero 100, che può essere interpretato come se avesse una, due o tre cifre significative. (Nota: considerate tutti gli zeri finali negli esercizi e nei problemi di questo testo come significativi, a meno che non vi venga detto diversamente).
5. Gli interi ottenuti dal conteggio degli oggetti o dalle definizioni sono numeri esatti, che sono considerati avere un numero infinito di cifre significative. Se abbiamo contato quattro oggetti, per esempio, allora il numero 4 ha un numero infinito di cifre significative (cioè, rappresenta 4.000…). Allo stesso modo, 1 piede (ft) è definito per contenere 12 pollici (in), quindi il numero 12 nella seguente equazione ha un numero infinito di cifre significative:

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Un metodo efficace per determinare il numero di cifre significative è convertire il valore misurato o calcolato in notazione scientifica perché qualsiasi zero usato come segnaposto viene eliminato nella conversione. Quando 0,0800 è espresso in notazione scientifica come 8,00 × 10-2, è più evidente che il numero ha tre cifre significative piuttosto che cinque; in notazione scientifica, il numero che precede l’esponenziale (cioè N) determina il numero di cifre significative.

Le operazioni matematiche vengono eseguite utilizzando tutte le cifre date e poi arrotondando il risultato finale al numero corretto di cifre significative per ottenere una risposta ragionevole. Questo metodo evita di aggravare le imprecisioni arrotondando successivamente i calcoli intermedi. Dopo aver completato un calcolo, potrebbe essere necessario arrotondare l’ultima cifra significativa per eccesso o per difetto a seconda del valore della cifra che la segue. Se la cifra è uguale o superiore a 5, allora il numero viene arrotondato per eccesso. Per esempio, se arrotondato a tre cifre significative, 5,215 è 5,22, mentre 5,213 è 5,21. Allo stesso modo, con tre cifre significative, 5,005 kg diventa 5,01 kg, mentre 5,004 kg diventa 5,00 kg. Le procedure per trattare le cifre significative sono diverse per l’addizione e la sottrazione rispetto alla moltiplicazione e alla divisione.

Quando aggiungiamo o sottraiamo valori misurati, il valore con il minor numero di cifre significative a destra della virgola determina il numero di cifre significative a destra della virgola nella risposta. Tracciare una linea verticale a destra della colonna corrispondente al minor numero di cifre significative è un metodo semplice per determinare il numero corretto di cifre significative per la risposta:

3240.7 + 21.2
3261.9	36

La linea indica che le cifre 3 e 6 non sono significative nella risposta. Queste cifre non sono significative perché i valori dei posti corrispondenti nell’altra misura sono sconosciuti (3240,7??). Di conseguenza, la risposta è espressa come 3261,9, con cinque cifre significative. Di nuovo, i numeri maggiori o uguali a 5 vengono arrotondati per eccesso. Se il nostro secondo numero nel calcolo fosse stato 21,256, allora avremmo arrotondato 3261,956 a 3262,0 per completare il nostro calcolo.

Quando moltiplichiamo o dividiamo valori misurati, la risposta è limitata al minor numero di cifre significative nel calcolo; così, 42,9 × 8,323 = 357,057 = 357. Anche se il secondo numero nel calcolo ha quattro cifre significative, siamo giustificati nel riportare la risposta a solo tre cifre significative perché il primo numero nel calcolo ha solo tre cifre significative. Un’eccezione a questa regola si verifica quando si moltiplica un numero per un intero, come in 12,793 × 12. In questo caso, il numero di cifre significative nella risposta è determinato dal numero 12,973, perché in sostanza stiamo aggiungendo 12,973 a se stesso 12 volte. La risposta corretta è quindi 155.516, un aumento di una cifra significativa, non 155.52.

Quando si usa una calcolatrice, è importante ricordare che il numero mostrato nel display della calcolatrice spesso mostra più cifre di quelle che possono essere riportate come significative nella risposta. Quando una misura riportata come 5,0 kg viene divisa per 3,0 L, per esempio, il display può mostrare 1,666666667 come risposta. Siamo giustificati nel riportare la risposta con solo due cifre significative, dando 1,7 kg/L come risposta, con l’ultima cifra intesa come incertezza.

Nei calcoli che coinvolgono diversi passi, si possono ottenere risposte leggermente diverse a seconda di come viene gestito l’arrotondamento, in particolare se l’arrotondamento viene eseguito sui risultati intermedi o rimandato all’ultimo passo. L’arrotondamento al numero corretto di cifre significative dovrebbe essere sempre eseguito alla fine di una serie di calcoli, perché l’arrotondamento dei risultati intermedi può talvolta causare un errore significativo nella risposta finale.

In pratica, i chimici generalmente lavorano con una calcolatrice e portano avanti tutte le cifre nei calcoli successivi. Quando si lavora su carta, tuttavia, spesso vogliamo ridurre al minimo il numero di cifre che dobbiamo scrivere. Poiché gli arrotondamenti successivi possono aggravare le imprecisioni, gli arrotondamenti intermedi devono essere gestiti correttamente. Quando si lavora su carta, si arrotonda sempre un risultato intermedio in modo da mantenere almeno una cifra in più di quella che può essere giustificata e portare questo numero nel passo successivo del calcolo. La risposta finale viene poi arrotondata al numero corretto di cifre significative alla fine.

Negli esempi lavorati in questo testo, mostreremo spesso i risultati dei passi intermedi di un calcolo. Così facendo, mostreremo i risultati solo al numero corretto di cifre significative consentito per quel passo, trattando in effetti ogni passo come un calcolo separato. Questa procedura ha lo scopo di rafforzare le regole per determinare il numero di cifre significative, ma in alcuni casi può dare una risposta finale che differisce per l’ultima cifra da quella ottenuta usando una calcolatrice, dove tutte le cifre sono portate fino all’ultimo passo.