Applications des expériences de probabilité simples
L’ingrédient fondamental de la théorie des probabilités est une expérience qui peut être répétée, au moins hypothétiquement, dans des conditions essentiellement identiques et qui peut conduire à des résultats différents lors de différents essais. L’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience est appelé « espace d’échantillonnage ». L’expérience consistant à lancer une pièce de monnaie une fois donne un espace d’échantillonnage avec deux résultats possibles, « pile » et « face ». En lançant deux dés, on obtient un espace d’échantillonnage de 36 résultats possibles, chacun d’entre eux pouvant être identifié par une paire ordonnée (i, j), où i et j prennent l’une des valeurs 1, 2, 3, 4, 5, 6 et désignent les faces des dés individuels. Il est important de considérer que les dés sont identifiables (par exemple par une différence de couleur), de sorte que le résultat (1, 2) est différent de (2, 1). Un « événement » est un sous-ensemble bien défini de l’espace d’échantillonnage. Par exemple, l’événement « la somme des faces affichées sur les deux dés est égale à six » est constitué des cinq résultats (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) et (5, 1).
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Un troisième exemple consiste à tirer n boules d’une urne contenant des boules de différentes couleurs. Un résultat générique à cette expérience est un n-tuple, où la ième entrée spécifie la couleur de la boule obtenue lors du ième tirage (i = 1, 2,…, n). Malgré la simplicité de cette expérience, une compréhension approfondie donne la base théorique des sondages d’opinion et des enquêtes par sondage. Par exemple, les individus d’une population qui favorisent un candidat particulier à une élection peuvent être identifiés par des boules d’une couleur particulière, ceux qui favorisent un candidat différent peuvent être identifiés par une couleur différente, et ainsi de suite. La théorie des probabilités fournit la base pour apprendre le contenu de l’urne à partir de l’échantillon de boules tiré de l’urne ; une application consiste à apprendre les préférences électorales d’une population sur la base d’un échantillon tiré de cette population.
Une autre application des modèles d’urne simples consiste à utiliser les essais cliniques conçus pour déterminer si un nouveau traitement pour une maladie, un nouveau médicament ou une nouvelle procédure chirurgicale est meilleur qu’un traitement standard. Dans le cas simple où le traitement peut être considéré comme un succès ou un échec, l’objectif de l’essai clinique est de découvrir si le nouveau traitement conduit plus fréquemment au succès que le traitement standard. Les patients atteints de la maladie peuvent être identifiés par des boules dans une urne. Les boules rouges sont les patients qui sont guéris par le nouveau traitement, et les boules noires sont ceux qui ne sont pas guéris. Il existe généralement un groupe témoin, qui reçoit le traitement standard. Ils sont représentés par une deuxième urne avec une fraction éventuellement différente de boules rouges. Le but de l’expérience consistant à tirer un certain nombre de boules de chaque urne est de découvrir, sur la base de l’échantillon, quelle urne contient la plus grande fraction de boules rouges. Une variante de cette idée peut être utilisée pour tester l’efficacité d’un nouveau vaccin. L’exemple le plus important et le plus célèbre est sans doute le test du vaccin Salk contre la poliomyélite réalisé en 1954. Organisé par le service de santé publique des États-Unis, il a concerné près de deux millions d’enfants. Son succès a conduit à l’élimination presque complète de la polio en tant que problème de santé dans les parties industrialisées du monde. À proprement parler, ces applications sont des problèmes de statistiques, dont les fondements sont fournis par la théorie des probabilités.
Contrairement aux expériences décrites ci-dessus, de nombreuses expériences ont une infinité de résultats possibles. Par exemple, on peut lancer une pièce de monnaie jusqu’à ce que » face » apparaisse pour la première fois. Le nombre de lancers possibles est n = 1, 2,….. Un autre exemple consiste à faire tourner une toupie. Pour une toupie idéalisée faite d’un segment de ligne droite sans largeur et pivotant en son centre, l’ensemble des résultats possibles est l’ensemble de tous les angles que fait la position finale de la toupie avec une direction fixe, soit tous les nombres réels dans [0, 2π]. De nombreuses mesures dans les sciences naturelles et sociales, telles que le volume, la tension, la température, le temps de réaction, le revenu marginal, etc., sont effectuées sur des échelles continues et impliquent, du moins en théorie, une infinité de valeurs possibles. Si les mesures répétées sur différents sujets ou à différents moments sur le même sujet peuvent conduire à des résultats différents, la théorie des probabilités est un outil possible pour étudier cette variabilité.
En raison de leur simplicité comparative, les expériences avec des espaces d’échantillons finis sont abordées en premier. Au début du développement de la théorie des probabilités, les mathématiciens ne considéraient que les expériences pour lesquelles il semblait raisonnable, sur la base de considérations de symétrie, de supposer que toutes les issues de l’expérience étaient « également probables. » Ainsi, dans un grand nombre d’essais, tous les résultats devraient se produire à peu près à la même fréquence. La probabilité d’un événement est définie comme étant le rapport entre le nombre de cas favorables à l’événement – c’est-à-dire le nombre d’issues dans le sous-ensemble de l’espace d’échantillonnage définissant l’événement – et le nombre total de cas. Ainsi, les 36 issues possibles lors du lancer de deux dés sont supposées également probables, et la probabilité d’obtenir » six » est le nombre de cas favorables, 5, divisé par 36, soit 5/36.
Supposons maintenant qu’une pièce de monnaie soit lancée n fois, et considérons la probabilité de l’événement » face ne se produit pas » lors des n lancers. Un résultat de l’expérience est un n-tuple, dont la kième entrée identifie le résultat du kième lancer. Comme il y a deux résultats possibles pour chaque lancer, le nombre d’éléments dans l’espace d’échantillonnage est de 2n. Parmi ceux-ci, une seule issue correspond au fait de n’avoir aucune tête, la probabilité requise est donc de 1/2n.
Il n’est que légèrement plus difficile de déterminer la probabilité d' »au plus une tête ». En plus de l’unique cas où aucune tête ne se produit, il y a n cas où exactement une tête se produit, car elle peut se produire au premier, deuxième,…, ou nième lancer. Par conséquent, il y a n + 1 cas favorables à l’obtention d’au plus une tête, et la probabilité souhaitée est (n + 1)/2n.
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