Superposition quantique

Jusqu’ici il n’y a eu que 2 configurations, mais il peut y en avoir une infinité.

En illustration, une particule peut avoir n’importe quelle position, de sorte qu’il existe différentes configurations qui ont n’importe quelle valeur de la position x. Celles-ci s’écrivent :

| x ⟩ {\displaystyle |x\rangle }.

Le principe de superposition garantit qu’il existe des états qui sont des superpositions arbitraires de toutes les positions à coefficients complexes :

∑ x ψ ( x ) | x ⟩ {\displaystyle \sum _{x}\psi (x)|x\rangle }

Cette somme est définie uniquement si l’indice x est discret. Si l’indice est sur R {\displaystyle \mathbb {R} }

, alors la somme est remplacée par une intégrale. La quantité ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)}

est appelée la fonction d’onde de la particule. Si l’on considère un qubit ayant à la fois une position et un spin, l’état est une superposition de toutes les possibilités pour les deux : ∑ x ψ + ( x ) | x , ⟩ + ψ – ( x ) | x , ↓ ⟩ {\displaystyle \sum _{x}\psi _{+}(x)|x,{\uparrow }\rangle +\psi _{-}(x)|x,{\downarrow }\rangle \,}

L’espace de configuration d’un système mécanique quantique ne peut pas être calculé sans certaines connaissances physiques. L’entrée est généralement les différentes configurations classiques autorisées, mais sans la duplication d’inclure à la fois la position et la quantité de mouvement.

Une paire de particules peut être dans n’importe quelle combinaison de paires de positions. Un état où une particule est en position x et l’autre en position y s’écrit | x , y ⟩ {\displaystyle |x,y\rangle }.

. L’état le plus général est une superposition des possibilités : ∑ x y A ( x , y ) | x , y ⟩ {\displaystyle \sum _{xy}A(x,y)|x,y\rangle \,}

La description des deux particules est beaucoup plus grande que celle d’une seule particule – c’est une fonction dans deux fois le nombre de dimensions. C’est également vrai en probabilité, lorsque les statistiques de deux variables aléatoires sont corrélées. Si deux particules ne sont pas corrélées, la distribution de probabilité de leur position conjointe P(x, y) est un produit de la probabilité de trouver l’une à une position et l’autre à l’autre position :

P ( x , y ) = P x ( x ) P y ( y ) {\displaystyle P(x,y)=P_{x}(x)P_{y}(y)\,}

En mécanique quantique, deux particules peuvent être dans des états particuliers où les amplitudes de leur position ne sont pas corrélées. Pour les amplitudes quantiques, le mot intrication remplace le mot corrélation, mais l’analogie est exacte. Une fonction d’onde désenchevêtrée a la forme :

A ( x , y ) = ψ x ( x ) ψ y ( y ) {\displaystyle A(x,y)=\psi _{x}(x)\psi _{y}(y)\,}

alors qu’une fonction d’onde intriquée n’a pas cette forme.

Analogie avec les probabilitésEdit

En théorie des probabilités, il existe un principe similaire. Si un système a une description probabiliste, cette description donne la probabilité de n’importe quelle configuration, et étant donné deux configurations différentes quelconques, il existe un état qui est en partie ceci et en partie cela, avec des coefficients de nombres réels positifs, les probabilités, qui disent combien de chaque il y a.

Par exemple, si nous avons une distribution de probabilité pour savoir où se trouve une particule, elle est décrite par l' »état »

∑ x ρ ( x ) | x ⟩ {\displaystyle \sum _{x}\rho (x)|x\rangle }.

Where ρ {\displaystyle \rho }

est la fonction de densité de probabilité, un nombre positif qui mesure la probabilité que la particule se trouve à un certain endroit.

L’équation d’évolution est également linéaire en probabilité, pour des raisons fondamentales. Si la particule a une certaine probabilité d’aller de la position x à y, et de z à y, la probabilité d’aller à y en partant d’un état qui est mi-x et mi-z est un mélange moitié-moitié de la probabilité d’aller à y à partir de chacune des options. C’est le principe de superposition linéaire en probabilité.

La mécanique quantique est différente, car les nombres peuvent être positifs ou négatifs. Bien que la nature complexe des nombres ne soit qu’un doublement, si vous considérez les parties réelles et imaginaires séparément, le signe des coefficients est important. En probabilité, deux résultats possibles différents s’additionnent toujours, de sorte que s’il y a plus d’options pour atteindre un point z, la probabilité augmente toujours. En mécanique quantique, différentes possibilités peuvent s’annuler.

En théorie des probabilités avec un nombre fini d’états, les probabilités peuvent toujours être multipliées par un nombre positif pour que leur somme soit égale à un. Par exemple, s’il existe un système de probabilité à trois états :

x | 1 ⟩ + y | 2 ⟩ + z | 3 ⟩ {\displaystyle x|1\rangle +y|2\rangle +z|3\rangle \,

où les probabilités x , y , z {\displaystyle x,y,z}

sont des nombres positifs. Remise à l’échelle de x,y,z pour que x + y + z = 1 {\displaystyle x+y+z=1\,}

La géométrie de l’espace d’état est a révélé être un triangle. En général, c’est un simplexe. Il y a des points spéciaux dans un triangle ou un simplex correspondant aux coins, et ces points sont ceux où l’une des probabilités est égale à 1 et les autres sont nulles. Ce sont les endroits uniques où la position est connue avec certitude.

Dans un système de mécanique quantique à trois états, la fonction d’onde de la mécanique quantique est à nouveau une superposition d’états, mais cette fois-ci deux fois plus de quantités sans restriction de signe :

A | 1 ⟩ + B | 2 ⟩ + C | 3 ⟩ = ( A r + i A i ) | 1 ⟩ + ( B r + i B i ) | 2 ⟩ + ( C r + i C i ) | 3 ⟩ {\displaystyle A|1\rangle +B|2\rangle +C|3\rangle =(A_{r}+iA_{i})|1\rangle +(B_{r}+iB_{i})|2\rangle +(C_{r}+iC_{i})|3\rangle \,}

Mise à l’échelle des variables pour que la somme des carrés soit égale à 1, la géométrie de l’espace se révèle être une sphère de haute dimension

A r 2 + A i 2 + B r 2 + B i 2 + C r 2 + C i 2 = 1 {\displaystyle A_{r}^{2}+A_{i}^{2}+B_{r}^{2}+B_{i}^{2}+C_{r}^{2}+C_{i}^{2}=1\,}

.

Une sphère possède une grande quantité de symétrie, elle peut être vue dans différents systèmes de coordonnées ou bases. Ainsi, contrairement à une théorie des probabilités, une théorie quantique a un grand nombre de bases différentes dans lesquelles elle peut être aussi bien décrite. La géométrie de l’espace des phases peut être vue comme un indice que la quantité en mécanique quantique qui correspond à la probabilité est le carré absolu du coefficient de la superposition.

Évolution hamiltonienneModification

Les nombres qui décrivent les amplitudes pour différentes possibilités définissent la cinématique, l’espace des différents états. La dynamique décrit comment ces nombres évoluent dans le temps. Pour une particule qui peut se trouver dans l’une quelconque d’une infinité de positions discrètes, une particule sur un treillis, le principe de superposition vous indique comment réaliser un état :

∑ n ψ n | n ⟩ {\displaystyle \sum _{n}\psi _{n}|n\rangle \,}

Ainsi, la liste infinie des amplitudes ( …, ψ – 2 , ψ – 1 , ψ 0 , ψ 1 , ψ 2 , … ) {\textstyle (\ldots ,\psi _{-2},\psi _{-1},\psi _{0},\psi _{1},\psi _{2},\ldots )}

décrit complètement l’état quantique de la particule. Cette liste est appelée le vecteur d’état, et formellement c’est un élément d’un espace de Hilbert, un espace vectoriel complexe à dimension infinie. Il est habituel de représenter l’état de sorte que la somme des carrés absolus des amplitudes soit égale à un : ∑ ψ n ∗ ψ n = 1 {\displaystyle \sum \psi _{n}^{*}\psi _{n}=1}.

Pour une particule décrite par la théorie des probabilités marchant au hasard sur une ligne, la chose analogue est la liste des probabilités ( … , P – 2 , P – 1 , P 0 , P 1 , P 2 , … ) {\textstyle (\ldots ,P_{-2},P_{-1},P_{0},P_{1},P_{2},\ldots )}

, qui donnent la probabilité de toute position. Les quantités qui décrivent leur évolution dans le temps sont les probabilités de transition K x → y ( t ) {\displaystyle \scriptstyle K_{x\rightarrow y}(t)}.

, qui donne la probabilité que, partant de x, la particule se retrouve en y au temps t plus tard. La probabilité totale de se retrouver en y est donnée par la somme de toutes les possibilités P y ( t 0 + t ) = ∑ x P x ( t 0 ) K x → y ( t ) {\displaystyle P_{y}(t_{0}+t)=\sum _{x}P_{x}(t_{0})K_{x\rightarrow y}(t)\,}

La condition de conservation des probabilités stipule qu’en partant de n’importe quel x, la probabilité totale de se retrouver quelque part doit s’additionner à 1 :

∑ y K x → y = 1 {\displaystyle \sum _{y}K_{x\rightarrow y}=1\,}

Pour que la probabilité totale soit conservée, K est ce qu’on appelle une matrice stochastique.

Quand aucun temps ne s’écoule, rien ne change : pour 0 temps écoulé K x → y ( 0 ) = δ x y {\displaystyle \scriptstyle K{x\rightarrow y}(0)=\delta _{xy}}.

, la matrice K est nulle sauf d’un état à lui-même. Ainsi, dans le cas où le temps est court, il est préférable de parler de taux de variation de la probabilité plutôt que de variation absolue de la probabilité. P y ( t + d t ) = P y ( t ) + d t ∑ x P x R x → y {\displaystyle P_{y}(t+dt)=P_{y}(t)+dt\,\sum _{x}P_{x}R_{x\rightarrow y}\,

où R x → y {\displaystyle \scriptstyle R_{x\rightarrow y}}

est la dérivée temporelle de la matrice K : R x → y = K x → y d t – δ x y d t . {\displaystyle R_{x\rightarrow y}={K_{x\rightarrow y}\,dt-\delta _{xy} \over dt}.\,}

L’équation des probabilités est une équation différentielle parfois appelée équation maîtresse:

d P y d t = ∑ x P x R x → y {\displaystyle {dP_{y} \over dt}=\sum _{x}P_{x}R_{x\rightarrow y}\,}

La matrice R est la probabilité par unité de temps pour la particule d’effectuer une transition de x à y. La condition que la somme des éléments de la matrice K soit égale à un devient la condition que la somme des éléments de la matrice R soit égale à zéro :

∑ y R x → y = 0 {\displaystyle \sum _{y}R_{x\rightarrow y}=0\,}

Un cas simple à étudier est celui où la matrice R a une probabilité égale d’aller d’une unité vers la gauche ou vers la droite, décrivant une particule qui a un taux constant de marche aléatoire. Dans ce cas, R x → y {\displaystyle \scriptstyle R_{x\rightarrow y}}.

est égal à zéro sauf si y est soit x + 1, x, ou x – 1, lorsque y est x + 1 ou x – 1, la matrice R a la valeur c, et pour que la somme des coefficients de la matrice R soit égale à zéro, la valeur de R x → x {\displaystyle R_{x\rightarrow x}}.

doit être égale à -2c. Les probabilités obéissent donc à l’équation de diffusion discrétisée : d P x d t = c ( P x + 1 – 2 P x + P x – 1 ) {\displaystyle {dP_{x} \over dt}=c(P_{x+1}-2P_{x}+P_{x-1})\,}

ce qui, lorsque c est mis à l’échelle de manière appropriée et que la distribution P est suffisamment lisse pour penser au système dans une limite de continuum devient :

∂ P ( x , t ) ∂ t = c ∂ 2 P ∂ x 2 {\displaystyle {\partial P(x,t) \over \partial t}=c{\partial ^{2}P \over \partial x^{2}},}

C’est l’équation de diffusion.

Les amplitudes quantiques donnent la vitesse à laquelle les amplitudes changent dans le temps, et elles sont mathématiquement exactement les mêmes sauf qu’elles sont des nombres complexes. L’analogue de la matrice K en temps fini s’appelle la matrice U :

ψ n ( t ) = ∑ m U n m ( t ) ψ m {\displaystyle \psi _{n}(t)=\sum _{m}U_{nm}(t)\psi _{m}\,}

Puisque la somme des carrés absolus des amplitudes doit être constante, U {\displaystyle U}.

doit être unitaire : ∑ n U n m ∗ U n p = δ m p {\displaystyle \sum _{n}U_{nm}^{*}U_{np}=\delta _{mp}\,}

ou, en notation matricielle,

U † U = I {\displaystyle U^{\dagger }U=I\,}

Le taux de variation de U est appelé le hamiltonien H, jusqu’à un facteur traditionnel de i :

H m n = i d d t U m n {\displaystyle H_{mn}=i{d \over dt}U_{mn}}

Le hamiltonien donne la vitesse à laquelle la particule a une amplitude pour passer de m à n. La raison pour laquelle il est multiplié par i est que la condition que U soit unitaire se traduit par la condition:

( I + i H † d t ) ( I – i H d t ) = I {\displaystyle (I+iH^{\dagger }\,dt)(I-iH\,dt)=I}.

H † – H = 0 {\displaystyle H^{\dagger }-H=0\,}

ce qui dit que H est hermitien. Les valeurs propres de la matrice hermitienne H sont des quantités réelles, qui ont une interprétation physique comme niveaux d’énergie. Si le facteur i était absent, la matrice H serait antihermitienne et aurait des valeurs propres purement imaginaires, ce qui n’est pas la façon traditionnelle dont la mécanique quantique représente les quantités observables comme l’énergie.

Pour une particule qui a une amplitude égale pour se déplacer à gauche et à droite, la matrice hermitienne H est nulle sauf pour les voisins les plus proches, où elle a la valeur c. Si le coefficient est partout constant, la condition que H soit hermitienne exige que l’amplitude pour se déplacer à gauche soit le conjugué complexe de l’amplitude pour se déplacer à droite. L’équation du mouvement de ψ {\displaystyle \psi }

est l’équation différentielle temporelle : i d ψ n d t = c ∗ ψ n + 1 + c ψ n – 1 {\displaystyle i{d\psi _{n} \over dt}=c^{*}\psi _{n+1}+c\psi _{n-1}}

Dans le cas où la gauche et la droite sont symétriques, c est réel. En redéfinissant la phase de la fonction d’onde dans le temps, ψ → ψ e i 2 c t {\displaystyle \psi \rightarrow \psi e^{i2ct}}.

, les amplitudes pour être à des endroits différents sont seulement rééchelonnées, de sorte que la situation physique est inchangée. Mais cette rotation de phase introduit un terme linéaire. i d ψ n d t = c ψ n + 1 – 2 c ψ n + c ψ n – 1 , {\displaystyle i{d\psi _{n} \over dt}=c\psi _{n+1}-2c\psi _{n}+c\psi _{n-1},}

ce qui est le bon choix de phase pour prendre la limite du continuum. Lorsque c {\displaystyle c}

est très grand et ψ {\displaystyle \psi }.

varie lentement de sorte que le réseau peut être considéré comme une ligne, cela devient l’équation de Schrödinger libre : i ∂ ψ ∂ t = – ∂ 2 ψ ∂ x 2 {\displaystyle i{\partial \psi \over \partial t}=-{\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}}

S’il y a un terme supplémentaire dans la matrice H qui est une rotation de phase supplémentaire qui varie d’un point à l’autre, la limite du continuum est l’équation de Schrödinger avec une énergie potentielle :

i ∂ ψ ∂ t = – ∂ 2 ψ ∂ x 2 + V ( x ) ψ {\displaystyle i{\partial \psi \over \partial t}=-{\partial ^{2}\psi \over \partial x^{2}}+V(x)\psi }

Ces équations décrivent le mouvement d’une particule unique en mécanique quantique non relativiste.

Mécanique quantique en temps imaginaireModification

L’analogie entre la mécanique quantique et les probabilités est très forte, si bien qu’il existe de nombreux liens mathématiques entre elles. Dans un système statistique en temps discret, t=1,2,3, décrit par une matrice de transition pour un pas de temps K m → n {\displaystyle \scriptstyle K_{m\rightarrow n}}.

, la probabilité d’aller entre deux points après un nombre fini de pas de temps peut être représentée comme une somme sur tous les chemins de la probabilité d’emprunter chaque chemin : K x → y ( T ) = ∑ x ( t ) ∏ t K x ( t ) x ( t + 1 ) {\displaystyle K_{x\rightarrow y}(T)=\sum _{x(t)}\prod _{t}K_{x(t)x(t+1)}\,}

où la somme s’étend sur tous les chemins x ( t ) {\displaystyle x(t)}.

avec la propriété que x ( 0 ) = 0 {\displaystyle x(0)=0}.

et x ( T ) = y {\displaystyle x(T)=y}

. L’expression analogue en mécanique quantique est l’intégrale de chemin.

Une matrice de transition générique en probabilité a une distribution stationnaire, qui est la probabilité éventuelle à trouver en tout point quel que soit le point de départ. S’il existe une probabilité non nulle pour deux chemins quelconques d’atteindre le même point en même temps, cette distribution stationnaire ne dépend pas des conditions initiales. En théorie des probabilités, la probabilité m de la matrice stochastique obéit à un équilibre détaillé lorsque la distribution stationnaire ρ n {\displaystyle \rho _{n}}.

a la propriété : ρ n K n → m = ρ m K m → n {\displaystyle \rho _{n}K_{n\rightarrow m}=\rho _{m}K_{m\rightarrow n}\,}

L’équilibre détaillé dit que la probabilité totale de passer de m à n dans la distribution stationnaire, qui est la probabilité de commencer à m ρ m {\displaystyle \rho _{m}}.

fois la probabilité de sauter de m à n, est égale à la probabilité d’aller de n à m, de sorte que le flux total de va-et-vient de probabilité à l’équilibre est nul le long de tout saut. La condition est automatiquement satisfaite lorsque n=m, elle a donc la même forme lorsqu’elle est écrite comme une condition pour la matrice R de probabilité de transition. ρ n R n → m = ρ m R m → n {\displaystyle \rho _{n}R_{n\rightarrow m}=\rho _{m}R_{m\rightarrow n}\,}

Lorsque la matrice R obéit à l’équilibre détaillé, on peut redéfinir l’échelle des probabilités à l’aide de la distribution stationnaire de façon à ce que leur somme ne soit plus égale à 1 :

p n ′ = ρ n p n {\displaystyle p’_{n}={\sqrt {\rho _{n}}\;p_{n}\,}

Dans les nouvelles coordonnées, la matrice R est rééchelonnée comme suit :

ρ n R n → m 1 ρ m = H n m {\displaystyle {\sqrt {\rho _{n}}R_{n\rightarrow m}{1 \over {\sqrt {\rho _{m}}}}=H_{nm}\,}

et H est symétrique

H n m = H m n {\displaystyle H_{nm}=H_{mn}\,}

Cette matrice H définit un système de mécanique quantique :

i d d t ψ n = ∑ H n m ψ m {\displaystyle i{d \over dt}\psi _{n}=\sum H_{nm}\psi _{m}\,}

dont l’hamiltonien a les mêmes valeurs propres que celles de la matrice R du système statistique. Les vecteurs propres sont également les mêmes, sauf qu’ils sont exprimés dans la base remise à l’échelle. La distribution stationnaire du système statistique est l’état fondamental de l’hamiltonien et son énergie est exactement nulle, tandis que toutes les autres énergies sont positives. Si l’on exponentise H pour trouver la matrice U :

U ( t ) = e – i H t {\displaystyle U(t)=e^{-iHt}\,}

et que l’on permet à t de prendre des valeurs complexes, on trouve la matrice K’ en prenant le temps en imaginaire.

K ′ ( t ) = e – H t {\displaystyle K'(t)=e^{-Ht}\,}

Pour les systèmes quantiques qui sont invariants sous l’effet du retournement temporel, l’hamiltonien peut être rendu réel et symétrique, de sorte que l’action du retournement temporel sur la fonction d’onde est juste une conjugaison complexe. Si un tel hamiltonien possède un état unique de plus basse énergie avec une fonction d’onde réelle positive, comme c’est souvent le cas pour des raisons physiques, il est relié à un système stochastique en temps imaginaire. Cette relation entre les systèmes stochastiques et les systèmes quantiques jette beaucoup de lumière sur la supersymétrie.

.