La relation entre l’espacement du réseau et les angles des faisceaux lumineux incidents et diffractés est connue sous le nom d’équation du réseau. Selon le principe de Huygens-Fresnel, chaque point du front d’onde d’une onde qui se propage peut être considéré comme agissant comme une source ponctuelle, et le front d’onde en tout point ultérieur peut être trouvé en additionnant les contributions de chacune de ces sources ponctuelles individuelles. Les réseaux peuvent être de type « réfléchissant » ou « transmissif », comme un miroir ou une lentille, respectivement. Un réseau possède un « mode d’ordre zéro » (où m = 0), dans lequel il n’y a pas de diffraction et un rayon de lumière se comporte selon les lois de la réflexion et de la réfraction, comme avec un miroir ou une lentille, respectivement.
Un réseau idéalisé est constitué d’un ensemble de fentes dont l’espacement d, qui doit être plus large que la longueur d’onde d’intérêt pour provoquer une diffraction. En supposant une onde plane de lumière monochromatique de longueur d’onde λ avec une incidence normale (perpendiculaire au réseau), chaque fente du réseau agit comme une source quasi ponctuelle à partir de laquelle la lumière se propage dans toutes les directions (bien que cela soit généralement limité à un hémisphère). Après l’interaction de la lumière avec le réseau, la lumière diffractée est composée de la somme des composantes d’ondes interférentes émanant de chaque fente du réseau. En tout point de l’espace par lequel la lumière diffractée peut passer, la longueur du trajet vers chaque fente du réseau varie. Comme la longueur du trajet varie, il en va généralement de même pour les phases des ondes provenant de chacune des fentes en ce point. Ainsi, elles s’ajoutent ou se soustraient les unes aux autres pour créer des pics et des creux par interférence additive et destructive. Lorsque la différence de trajet entre la lumière provenant de fentes adjacentes est égale à la moitié de la longueur d’onde, λ/2, les ondes sont déphasées et s’annulent donc pour créer des points d’intensité minimale. De même, lorsque la différence de trajet est de λ, les phases s’additionnent et des maxima apparaissent. Pour un faisceau incident normalement sur un réseau, les maxima se produisent à des angles θm, qui satisfont la relation d sinθm/λ = | m |, où θm est l’angle entre le rayon diffracté et le vecteur normal du réseau, et d est la distance entre le centre d’une fente et le centre de la fente adjacente, et m est un nombre entier représentant le mode de propagation d’intérêt.
Donc, lorsque la lumière est normalement incidente sur le réseau, la lumière diffractée présente des maxima à des angles θm donnés par :
d sin θ m = m λ . {\displaystyle d\sin \theta _{m}=m\lambda .}
On peut montrer que si une onde plane est incidente à tout angle arbitraire θi, l’équation du réseau devient :
d ( sin θ i – sin θ m ) = m λ . {\displaystyle d(\sin \theta _{i}-\sin \theta _{m})=m\lambda .}
Lorsque l’on résout les maxima de l’angle diffracté, l’équation est:
θ m = arcsin ( sin θ i – m λ d ) . {\displaystyle \theta _{m}=\arcsin \!\left(\sin \theta _{i}-{\frac {m\lambda }{d}}right)\!}
Veuillez noter que ces équations supposent que les deux faces du réseau sont en contact avec le même milieu (par exemple l’air).La lumière qui correspond à la transmission directe (ou à la réflexion spéculaire dans le cas d’un réseau de réflexion) est appelée l’ordre zéro, et est notée m = 0. Les autres maxima se produisent à des angles représentés par des entiers non nuls m. Notez que m peut être positif ou négatif, ce qui entraîne des ordres diffractés des deux côtés du faisceau d’ordre zéro.
Cette dérivation de l’équation du réseau est basée sur un réseau idéalisé. Cependant, la relation entre les angles des faisceaux diffractés, l’espacement du réseau et la longueur d’onde de la lumière s’appliquent à toute structure régulière de même espacement, car la relation de phase entre la lumière diffusée par les éléments adjacents du réseau reste la même. La distribution détaillée de la lumière diffractée dépend de la structure détaillée des éléments du réseau ainsi que du nombre d’éléments du réseau, mais elle donne toujours des maxima dans les directions données par l’équation du réseau.
On peut réaliser des réseaux dans lesquels diverses propriétés de la lumière incidente sont modulées selon un motif périodique ; il s’agit notamment de
- la transparence (réseaux de diffraction d’amplitude de transmission) ;
- la réflectance (réseaux de diffraction d’amplitude de réflexion) ;
- l’indice de réfraction ou la longueur du chemin optique (réseaux de diffraction de phase) ;
- la direction de l’axe optique (réseaux de diffraction d’axe optique).
L’équation du réseau s’applique dans tous ces cas.
Electrodynamique quantiqueEdit
L’électrodynamique quantique (QED) offre une autre dérivation des propriétés d’un réseau de diffraction en termes de photons en tant que particules (à un certain niveau). La QED peut être décrite intuitivement avec la formulation intégrale du chemin de la mécanique quantique. En tant que telle, elle peut modéliser les photons comme suivant potentiellement tous les chemins depuis une source jusqu’à un point final, chaque chemin ayant une certaine amplitude de probabilité. Ces amplitudes de probabilité peuvent être représentées sous la forme d’un nombre complexe ou d’un vecteur équivalent-ou, comme Richard Feynman les appelle simplement dans son livre sur la QED, des « flèches ».
Pour la probabilité qu’un certain événement se produise, on additionne les amplitudes de probabilité pour toutes les manières possibles dont l’événement peut se produire, puis on prend le carré de la longueur du résultat. L’amplitude de probabilité qu’un photon provenant d’une source monochromatique arrive à un certain point final à un moment donné, dans ce cas, peut être modélisée comme une flèche qui tourne rapidement jusqu’à ce qu’elle soit évaluée lorsque le photon atteint son point final. Par exemple, pour la probabilité qu’un photon se réfléchisse sur un miroir et soit observé en un point donné un certain temps plus tard, on définit l’amplitude de la probabilité du photon qui tourne lorsqu’il quitte la source, la suit jusqu’au miroir, puis jusqu’à son point final, même pour les trajectoires qui n’impliquent pas de rebondir sur le miroir à angles égaux. On peut alors évaluer l’amplitude de probabilité au point final du photon ; ensuite, on peut intégrer toutes ces flèches (voir la somme vectorielle) et élever au carré la longueur du résultat pour obtenir la probabilité que ce photon se réfléchisse sur le miroir de la manière appropriée. Les temps que prennent ces chemins sont ce qui détermine l’angle de la flèche d’amplitude de probabilité, car on peut dire qu’ils « tournent » à un taux constant (qui est lié à la fréquence du photon).
Les temps des chemins près du site de réflexion classique du miroir sont presque les mêmes, donc les amplitudes de probabilité pointent dans presque la même direction – ainsi, ils ont une somme assez importante. L’examen des trajectoires vers les bords du miroir révèle que les temps des trajectoires proches sont très différents les uns des autres, et nous nous retrouvons donc à additionner des vecteurs qui s’annulent rapidement. Il y a donc une plus grande probabilité que la lumière suive un chemin de réflexion proche de la normale qu’un chemin plus éloigné. Cependant, il est possible de réaliser un réseau de diffraction à partir de ce miroir, en grattant les zones proches du bord du miroir qui annulent généralement les amplitudes proches – mais maintenant, puisque les photons ne se reflètent pas sur les parties grattées, les amplitudes de probabilité qui pointeraient toutes, par exemple, à quarante-cinq degrés, peuvent avoir une somme appréciable. Ainsi, cela laisse la lumière de la bonne fréquence s’additionner à une plus grande amplitude de probabilité, et en tant que telle posséder une plus grande probabilité d’atteindre le point final approprié.
Cette description particulière implique de nombreuses simplifications : une source ponctuelle, une « surface » sur laquelle la lumière peut se réfléchir (négligeant ainsi les interactions avec les électrons) et ainsi de suite. La plus grande simplification réside peut-être dans le fait que le « tournoiement » des flèches d’amplitude de probabilité s’explique en fait plus précisément comme un « tournoiement » de la source, car les amplitudes de probabilité des photons ne « tournent » pas lorsqu’ils sont en transit. Nous obtenons la même variation des amplitudes de probabilité en laissant indéterminé le moment où le photon a quitté la source – le moment du trajet nous indique maintenant quand le photon aurait quitté la source, et donc quel serait l’angle de sa « flèche ». Toutefois, ce modèle et cette approximation sont raisonnables pour illustrer conceptuellement un réseau de diffraction. La lumière d’une fréquence différente peut également se réfléchir sur le même réseau de diffraction, mais avec un point final différent.
.