Nommée d’après le mathématicien français Joseph Fourier, la transformée de Fourier est une procédure mathématique qui nous permet de déterminer le contenu en fréquence d’une fonction. Pour les ingénieurs électriciens, la transformée de Fourier est généralement appliquée à des fonctions du temps que nous appelons des signaux.
Décomposition sinusoïdale
Un tracé de la tension ou du courant en fonction du temps, comme nous le verrions sur un écran d’oscilloscope, est une représentation intuitive du comportement du signal. Ce n’est cependant pas la seule représentation utile.
Dans de nombreux cas – par exemple, dans la conception de systèmes RF – nous sommes principalement intéressés par le comportement périodique des signaux. Plus précisément, nous souhaitons comprendre un signal par rapport à la périodicité sinusoïdale, car les sinusoïdes sont l’unique expression mathématique de la fréquence « pure ».
La transformée de Fourier révèle la périodicité élémentaire d’un signal en décomposant le signal en ses fréquences sinusoïdales constitutives et en identifiant les amplitudes et les phases de ces fréquences constitutives.
Le mot « décomposer » est crucial ici. La transformée de Fourier nous apprend à considérer un signal dans le domaine temporel comme une forme d’onde composée de formes d’onde sinusoïdales sous-jacentes ayant des amplitudes et des phases différentes.
Une onde carrée, par exemple, peut être décomposée en une série infinie de sinusoïdes dont les amplitudes diminuent régulièrement et les fréquences augmentent régulièrement. La série exacte, pour une onde carrée couplée en courant alternatif de période T et d’amplitude A, peut s’écrire comme suit :
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Nous pouvons convertir cela sous la forme suivante, qui est un peu plus intuitive :
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où f est la fréquence, en hertz, de l’onde carrée.
Le tracé suivant montre l’onde carrée d’origine, en bleu, et les huit premières sinusoïdes de la série infinie.
Après avoir regardé ce tracé, vous serez peut-être encore un peu sceptique sur le fait que ces sinusoïdes puissent être combinées en une onde carrée. Le tracé suivant vous convaincra pourtant. Il montre l’onde carrée originale et la forme d’onde produite par l’addition de toutes les sinusoïdes constitutives présentées ci-dessus.
Fonctions de temps et de fréquence
Lorsque nous calculons une transformée de Fourier, nous commençons par une fonction de temps, f(t), et par décomposition mathématique, nous produisons une fonction de fréquence, F(ω). (Nous utilisons généralement la fréquence angulaire dans les discussions théoriques sur la transformée de Fourier.)
Évaluer F(ω) à une certaine fréquence angulaire spécifique, disons 100 rad/s, nous donne l’amplitude et la phase de la composante sinusoïdale de f(t) qui a une fréquence de 100 rad/s. Si f(t) n’a pas de composante sinusoïdale à 100 rad/s, l’amplitude sera nulle.
Vous vous demandez peut-être comment une fonction, F(ω), peut rendre compte à la fois de l’amplitude et de la phase. La transformée de Fourier produit une fonction à valeur complexe, ce qui signifie que la transformée elle-même n’est ni la magnitude des composantes de fréquence dans f(t) ni la phase de ces composantes. Comme pour tout nombre complexe, nous devons effectuer des calculs supplémentaires pour extraire la magnitude ou la phase.
Le concept de transformée à valeur complexe est un peu plus intuitif lorsque nous travaillons avec une transformée de Fourier discrète, plutôt qu’une transformée « standard » dans laquelle nous commençons par une fonction symbolique du temps et terminons par une fonction symbolique de la fréquence.
La transformée de Fourier discrète opère sur une séquence de valeurs numériques, et elle produit une séquence de coefficients de Fourier. Ces coefficients sont des nombres complexes typiques (c’est-à-dire qu’ils ont la forme a + jb), et nous utilisons généralement la magnitude de ces nombres complexes, calculée comme √(a2+b2), lors de l’analyse du contenu fréquentiel d’un signal.
Tracer la transformée de Fourier
Les tracés du contenu fréquentiel sont extrêmement courants dans les fiches techniques, les rapports de test, les manuels, etc. Nous faisons souvent référence à un tracé de l’amplitude en fonction de la fréquence comme un spectre – par exemple, » regardons le spectre du signal » signifie » regardons une sorte de représentation visuelle des informations d’amplitude dans la transformée de Fourier. «
Le tracé suivant montre le spectre d’une onde carrée couplée en courant alternatif avec une amplitude de 1 et une fréquence de 1 Hz.
Si vous comparez les amplitudes tracées des « pics » de fréquence aux amplitudes des composantes sinusoïdales correspondantes dans la série infinie discutée ci-dessus, vous verrez qu’elles sont cohérentes.
Calcul de la transformée de Fourier
Nous sommes presque à la fin de cet article, et je ne vous ai toujours pas dit comment on génère réellement la transformée de Fourier d’un signal défini mathématiquement.
Pour être honnête, je ne vois pas la nécessité d’explorer en profondeur les détails mathématiques dans un article d’introduction : l’analyse dans le domaine fréquentiel est aujourd’hui dominée par des techniques conviviales et logicielles, et les ingénieurs ne passent pas beaucoup de temps à convertir des expressions symboliques du domaine temporel en expressions symboliques du domaine fréquentiel.
Néanmoins, avec quelque chose d’aussi important que la transformée de Fourier, il est bon d’être au moins au courant des mathématiques sous-jacentes. Donc, sans plus attendre, voici comment nous convertissons f(t) en F(ω):
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Conclusion
J’espère que cet article a fourni une explication claire et intuitive de ce qu’est la transformée de Fourier et de la façon dont elle nous donne un aperçu supplémentaire de la nature d’un signal.
La transformée de Fourier n’est que le début d’un éventail expansif de sujets connexes ; si vous souhaitez en savoir plus, jetez un coup d’œil aux articles listés ci-dessous.
La transformée de Fourier n’est que le début d’un éventail expansif de sujets connexes.