En calcul, en géométrie analytique et dans les domaines connexes, une fonction linéaire est un polynôme de degré un ou moins, y compris le polynôme zéro (ce dernier n’étant pas considéré comme ayant le degré zéro).
Lorsque la fonction est à une seule variable, elle est de la forme
f ( x ) = a x + b , {\displaystyle f(x)=ax+b,}
où a et b sont des constantes, souvent des nombres réels. Le graphe d’une telle fonction d’une variable est une droite non verticale. a est fréquemment appelé la pente de la droite, et b l’ordonnée à l’origine.
Pour une fonction f ( x 1 , … , x k ) {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})}
de tout nombre fini de variables, la formule générale est f ( x 1 , … , x k ) = b + a 1 x 1 + ⋯ + a k x k , {\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})=b+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k},}
et le graphe est un hyperplan de dimension k.
Une fonction constante est également considérée comme linéaire dans ce contexte, car elle est un polynôme de degré zéro ou est le polynôme zéro. Son graphe, lorsqu’il n’y a qu’une seule variable, est une droite horizontale.
Dans ce contexte, une fonction qui est aussi une carte linéaire (l’autre sens) peut être désignée comme une fonction linéaire homogène ou une forme linéaire. Dans le contexte de l’algèbre linéaire, les fonctions polynomiales de degré 0 ou 1 sont les cartes affines à valeur scalaire.
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