1.5 : Incertitude des mesures

Chiffres significatifs

Aucune mesure n’est exempte d’erreur. L’erreur est introduite par les limites des instruments et des dispositifs de mesure (comme la taille des divisions sur un cylindre gradué) et l’imperfection des sens humains (c’est-à-dire la détection). Bien que les erreurs de calcul puissent être énormes, elles ne contribuent pas à l’incertitude des mesures. Les chimistes décrivent le degré d’erreur estimé dans une mesure comme l’incertitude de la mesure, et ils prennent soin de rapporter toutes les valeurs mesurées en utilisant uniquement des chiffres significatifs, c’est-à-dire des chiffres qui décrivent la valeur sans exagérer le degré d’exactitude connu. Les chimistes déclarent comme significatifs tous les chiffres connus avec une certitude absolue, plus un chiffre supplémentaire qui est considéré comme contenant une certaine incertitude. L’incertitude du dernier chiffre est généralement supposée être de ±1, sauf indication contraire.

Les règles suivantes ont été élaborées pour compter le nombre de chiffres significatifs dans une mesure ou un calcul :

1. Tout chiffre non nul est significatif.
2. Tous les zéros entre les chiffres non nuls sont significatifs. Le nombre 2005, par exemple, a quatre chiffres significatifs.
3. Tout zéro utilisé comme caractère de remplacement précédant le premier chiffre non nul n’est pas significatif. Ainsi, 0,05 a un chiffre significatif parce que les zéros sont utilisés pour indiquer l’emplacement du chiffre 5. En revanche, 0,050 a deux chiffres significatifs parce que les deux derniers chiffres correspondent au nombre 50 ; le dernier zéro n’est pas un caractère de remplacement. Comme exemple supplémentaire, 5,0 a deux chiffres significatifs parce que le zéro est utilisé non pas pour placer le 5 mais pour indiquer 5,0.
4. Lorsqu’un nombre ne contient pas de point décimal, les zéros ajoutés après un nombre non nul peuvent être ou non significatifs. Un exemple est le nombre 100, qui peut être interprété comme ayant un, deux ou trois chiffres significatifs. (Remarque : traitez tous les zéros de queue dans les exercices et les problèmes de ce texte comme significatifs, sauf si on vous dit spécifiquement le contraire.)
5. Les nombres entiers obtenus soit en comptant des objets, soit à partir de définitions sont des nombres exacts, qui sont considérés comme ayant une infinité de chiffres significatifs. Si on a compté quatre objets, par exemple, alors le nombre 4 a un nombre infini de chiffres significatifs (c’est-à-dire qu’il représente 4.000…). De même, 1 pied (ft) est défini comme contenant 12 pouces (in), donc le nombre 12 dans l’équation suivante a une infinité de chiffres significatifs :

\

Une méthode efficace pour déterminer le nombre de chiffres significatifs consiste à convertir la valeur mesurée ou calculée en notation scientifique, car tout zéro utilisé comme caractère de remplacement est éliminé dans la conversion. Lorsque 0,0800 est exprimé en notation scientifique sous la forme 8,00 × 10-2, il est plus facile de constater que le nombre a trois chiffres significatifs plutôt que cinq ; en notation scientifique, le nombre précédant l’exponentielle (c’est-à-dire N) détermine le nombre de chiffres significatifs.

Les opérations mathématiques sont effectuées en utilisant tous les chiffres donnés, puis en arrondissant le résultat final au nombre correct de chiffres significatifs pour obtenir une réponse raisonnable. Cette méthode évite d’aggraver les imprécisions en arrondissant successivement les calculs intermédiaires. Après avoir effectué un calcul, vous devrez peut-être arrondir le dernier chiffre significatif à la hausse ou à la baisse en fonction de la valeur du chiffre qui le suit. Si le chiffre est égal ou supérieur à 5, le nombre est arrondi au chiffre supérieur. Par exemple, lorsqu’il est arrondi à trois chiffres significatifs, 5,215 est 5,22, alors que 5,213 est 5,21. De même, à trois chiffres significatifs près, 5,005 kg devient 5,01 kg, alors que 5,004 kg devient 5,00 kg. Les procédures pour traiter les chiffres significatifs sont différentes pour l’addition et la soustraction par rapport à la multiplication et à la division.

Lorsque nous additionnons ou soustrayons des valeurs mesurées, la valeur ayant le moins de chiffres significatifs à droite de la virgule détermine le nombre de chiffres significatifs à droite de la virgule dans la réponse. Tracer une ligne verticale à droite de la colonne correspondant au plus petit nombre de chiffres significatifs est une méthode simple pour déterminer le nombre approprié de chiffres significatifs pour la réponse :

3240.7 + 21,2
3261,9	36

Le trait indique que les chiffres 3 et 6 ne sont pas significatifs dans la réponse. Ces chiffres ne sont pas significatifs parce que les valeurs des places correspondantes dans l’autre mesure sont inconnues (3240,7 ??). Par conséquent, la réponse est exprimée par 3261,9, avec cinq chiffres significatifs. Encore une fois, les nombres supérieurs ou égaux à 5 sont arrondis au chiffre supérieur. Si notre deuxième nombre dans le calcul avait été 21,256, alors nous aurions arrondi 3261,956 à 3262,0 pour terminer notre calcul.

Lorsque nous multiplions ou divisons des valeurs mesurées, la réponse est limitée au plus petit nombre de chiffres significatifs du calcul ; ainsi, 42,9 × 8,323 = 357,057 = 357. Bien que le deuxième nombre du calcul ait quatre chiffres significatifs, nous sommes justifiés de rapporter la réponse à seulement trois chiffres significatifs car le premier nombre du calcul n’a que trois chiffres significatifs. Il existe une exception à cette règle lorsqu’on multiplie un nombre par un nombre entier, comme dans 12,793 × 12. Dans ce cas, le nombre de chiffres significatifs de la réponse est déterminé par le nombre 12,973, car il s’agit en fait d’ajouter 12 fois 12,973 à lui-même. La réponse correcte est donc 155,516, soit une augmentation d’un chiffre significatif, et non 155,52.

Lorsque vous utilisez une calculatrice, il est important de se rappeler que le nombre affiché sur l’écran de la calculatrice présente souvent plus de chiffres que ce qui peut être rapporté comme significatif dans votre réponse. Lorsqu’une mesure rapportée comme 5,0 kg est divisée par 3,0 L, par exemple, l’affichage peut indiquer 1,666666667 comme réponse. Nous sommes justifiés de rapporter la réponse à seulement deux chiffres significatifs, donnant 1,7 kg/L comme réponse, le dernier chiffre étant compris comme ayant une certaine incertitude.

Dans les calculs impliquant plusieurs étapes, des réponses légèrement différentes peuvent être obtenues selon la façon dont l’arrondi est traité, plus précisément si l’arrondi est effectué sur les résultats intermédiaires ou reporté à la dernière étape. L’arrondi au nombre correct de chiffres significatifs doit toujours être effectué à la fin d’une série de calculs, car l’arrondi des résultats intermédiaires peut parfois entraîner une erreur importante dans la réponse finale.

En pratique, les chimistes travaillent généralement avec une calculatrice et reportent tous les chiffres dans les calculs ultérieurs. Cependant, lorsque nous travaillons sur papier, nous voulons souvent minimiser le nombre de chiffres que nous devons écrire. Comme les arrondis successifs peuvent aggraver les inexactitudes, les arrondis intermédiaires doivent être traités correctement. Lorsque vous travaillez sur papier, arrondissez toujours un résultat intermédiaire de manière à conserver au moins un chiffre de plus que ce qui peut être justifié et reportez ce nombre à l’étape suivante du calcul. La réponse finale est alors arrondie au nombre correct de chiffres significatifs à la toute fin.

Dans les exemples travaillés de ce texte, nous montrerons souvent les résultats des étapes intermédiaires d’un calcul. Ce faisant, nous montrerons les résultats au seul nombre correct de chiffres significatifs autorisés pour cette étape, traitant en fait chaque étape comme un calcul distinct. Cette procédure vise à renforcer les règles de détermination du nombre de chiffres significatifs, mais dans certains cas, elle peut donner une réponse finale qui diffère par le dernier chiffre de celle obtenue à l’aide d’une calculatrice, où tous les chiffres sont reportés à la dernière étape.