Aplicaciones de los experimentos de probabilidad simples
El ingrediente fundamental de la teoría de la probabilidad es un experimento que puede repetirse, al menos hipotéticamente, bajo condiciones esencialmente idénticas y que puede conducir a diferentes resultados en diferentes ensayos. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento se llama «espacio muestral». El experimento de lanzar una moneda una vez da lugar a un espacio muestral con dos resultados posibles, «cara» y «cruz». Lanzar dos dados tiene un espacio muestral con 36 resultados posibles, cada uno de los cuales puede identificarse con un par ordenado (i, j), donde i y j asumen uno de los valores 1, 2, 3, 4, 5, 6 y denotan las caras que aparecen en los dados individuales. Es importante pensar que los dados son identificables (por ejemplo, por una diferencia de color), de modo que el resultado (1, 2) es diferente de (2, 1). Un «evento» es un subconjunto bien definido del espacio muestral. Por ejemplo, el suceso «la suma de las caras que aparecen en los dos dados es igual a seis» consiste en los cinco resultados (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2) y (5, 1).
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Un tercer ejemplo consiste en extraer n bolas de una urna que contiene bolas de varios colores. Un resultado genérico de este experimento es una n-tupla, donde la i-ésima entrada especifica el color de la bola obtenida en la i-ésima extracción (i = 1, 2,…, n). A pesar de la simplicidad de este experimento, una comprensión profunda da la base teórica de los sondeos de opinión y las encuestas por muestreo. Por ejemplo, los individuos de una población que favorecen a un determinado candidato en unas elecciones pueden ser identificados con bolas de un color concreto, los que favorecen a otro candidato pueden ser identificados con otro color, y así sucesivamente. La teoría de la probabilidad proporciona la base para aprender sobre el contenido de la urna a partir de la muestra de bolas extraídas de la urna; una aplicación es aprender sobre las preferencias electorales de una población a partir de una muestra extraída de esa población.
Otra aplicación de los modelos simples de urna es el uso de ensayos clínicos diseñados para determinar si un nuevo tratamiento para una enfermedad, un nuevo medicamento o un nuevo procedimiento quirúrgico es mejor que un tratamiento estándar. En el caso simple en el que el tratamiento puede considerarse un éxito o un fracaso, el objetivo del ensayo clínico es descubrir si el nuevo tratamiento conduce más frecuentemente al éxito que el tratamiento estándar. Los pacientes con la enfermedad pueden identificarse con bolas en una urna. Las bolas rojas son los pacientes que se curan con el nuevo tratamiento, y las negras los que no se curan. Normalmente hay un grupo de control, que recibe el tratamiento estándar. Están representados por una segunda urna con una fracción posiblemente diferente de bolas rojas. El objetivo del experimento de extraer un cierto número de bolas de cada urna es descubrir, a partir de la muestra, qué urna tiene la mayor fracción de bolas rojas. Una variación de esta idea puede utilizarse para probar la eficacia de una nueva vacuna. Quizás el ejemplo más grande y famoso fue la prueba de la vacuna Salk contra la poliomielitis realizada en 1954. Fue organizada por el Servicio de Salud Pública de Estados Unidos y en ella participaron casi dos millones de niños. Su éxito ha llevado a la eliminación casi completa de la poliomielitis como problema sanitario en las zonas industrializadas del mundo. En sentido estricto, estas aplicaciones son problemas de estadística, cuyos fundamentos los proporciona la teoría de la probabilidad.
En contraste con los experimentos descritos anteriormente, muchos experimentos tienen infinitos resultados posibles. Por ejemplo, se puede lanzar una moneda hasta que aparezca «cara» por primera vez. El número de lanzamientos posibles es n = 1, 2,…. Otro ejemplo es hacer girar una ruleta. Para una ruleta idealizada hecha de un segmento de línea recta sin anchura y pivotada en su centro, el conjunto de resultados posibles es el conjunto de todos los ángulos que la posición final de la ruleta hace con alguna dirección fija, equivalentemente todos los números reales en [0, 2π). Muchas mediciones en las ciencias naturales y sociales, como el volumen, el voltaje, la temperatura, el tiempo de reacción, la renta marginal, etc., se realizan en escalas continuas y, al menos en teoría, implican infinitos valores posibles. Si las mediciones repetidas en diferentes sujetos o en diferentes momentos en el mismo sujeto pueden conducir a diferentes resultados, la teoría de la probabilidad es una posible herramienta para estudiar esta variabilidad.
Debido a su simplicidad comparativa, se discuten primero los experimentos con espacios muestrales finitos. En los primeros desarrollos de la teoría de la probabilidad, los matemáticos consideraban sólo aquellos experimentos para los que parecía razonable, basándose en consideraciones de simetría, suponer que todos los resultados del experimento eran «igualmente probables.» Entonces, en un gran número de ensayos, todos los resultados deberían ocurrir con aproximadamente la misma frecuencia. La probabilidad de un suceso se define como la relación entre el número de casos favorables al suceso -es decir, el número de resultados en el subconjunto del espacio muestral que define el suceso- y el número total de casos. Así, los 36 resultados posibles en el lanzamiento de dos dados se suponen igualmente probables, y la probabilidad de obtener «seis» es el número de casos favorables, 5, dividido entre 36, o 5/36.
Supongamos ahora que se lanza una moneda n veces, y consideremos la probabilidad del suceso «no sale cara» en los n lanzamientos. Un resultado del experimento es una n-tupla, cuya kª entrada identifica el resultado del kº lanzamiento. Como hay dos resultados posibles para cada lanzamiento, el número de elementos del espacio muestral es 2n. De ellos, sólo un resultado corresponde a no tener ninguna cabeza, por lo que la probabilidad requerida es 1/2n.
Sólo es ligeramente más difícil determinar la probabilidad de «como máximo una cabeza». Además del único caso en el que no se produce ninguna cabeza, hay n casos en los que se produce exactamente una cabeza, porque puede ocurrir en el primer, segundo,…, o enésimo lanzamiento. Por lo tanto, hay n + 1 casos favorables a obtener como máximo una cabeza, y la probabilidad deseada es (n + 1)/2n.