La relación entre la separación de la rejilla y los ángulos de los haces de luz incidentes y difractados se conoce como ecuación de la rejilla. Según el principio de Huygens-Fresnel, cada punto del frente de onda de una onda que se propaga puede considerarse como una fuente puntual, y el frente de onda en cualquier punto posterior puede encontrarse sumando las contribuciones de cada una de estas fuentes puntuales individuales. Las rejillas pueden ser del tipo «reflectante» o «transmisivo», análogas a un espejo o una lente, respectivamente. Una rejilla tiene un «modo de orden cero» (donde m = 0), en el que no hay difracción y un rayo de luz se comporta según las leyes de reflexión y refracción igual que con un espejo o una lente, respectivamente.
Una rejilla idealizada está formada por un conjunto de rendijas de separación d que debe ser mayor que la longitud de onda de interés para provocar la difracción. Suponiendo una onda plana de luz monocromática de longitud de onda λ con incidencia normal (perpendicular a la rejilla), cada rendija de la rejilla actúa como una fuente casi puntual desde la que la luz se propaga en todas las direcciones (aunque normalmente se limita a una semiesfera). Después de que la luz interactúe con la rejilla, la luz difractada se compone de la suma de componentes de onda que interfieren y que emanan de cada rendija de la rejilla. En cualquier punto del espacio por el que pueda pasar la luz difractada, la longitud del camino hacia cada rendija de la rejilla varía. Dado que la longitud del camino varía, generalmente, también lo hacen las fases de las ondas en ese punto desde cada una de las rendijas. Por lo tanto, se suman o se restan entre sí para crear picos y valles a través de la interferencia aditiva y destructiva. Cuando la diferencia de trayectoria entre la luz de las rendijas adyacentes es igual a la mitad de la longitud de onda, λ/2, las ondas están desfasadas y, por tanto, se anulan entre sí para crear puntos de intensidad mínima. Del mismo modo, cuando la diferencia de trayectoria es λ, las fases se suman y se producen los máximos. Para un rayo que incide normalmente en una rejilla, los máximos se producen en ángulos θm, que satisfacen la relación d sinθm/λ = | m |, donde θm es el ángulo entre el rayo difractado y el vector normal de la rejilla, y d es la distancia desde el centro de una rendija al centro de la rendija adyacente, y m es un número entero que representa el modo de propagación de interés.
Así, cuando la luz incide normalmente en la rejilla, la luz difractada tiene máximos en ángulos θm dados por:
d sin θ m = m λ . {\displaystyle d\sin \theta _{m}=m\lambda .}
Puede demostrarse que si una onda plana incide con cualquier ángulo arbitrario θi, la ecuación de la rejilla se convierte en:
d ( sin θ i – sin θ m ) = m λ . {\displaystyle d(\sin \theta _{i}-\sin \theta _{m})=m\lambda .}
Cuando se resuelve para los máximos del ángulo difractado, la ecuación es:
θ m = arcsin ( sin θ i – m λ d ) . {\displaystyle \theta _{m}=\arcsin \!\left(\sin \theta _{i}-{\frac {m\lambda }{d}}right)}.
Tenga en cuenta que estas ecuaciones suponen que ambos lados de la rejilla están en contacto con el mismo medio (por ejemplo, el aire).La luz que corresponde a la transmisión directa (o a la reflexión especular en el caso de una rejilla de reflexión) se denomina orden cero, y se denota m = 0. Los demás máximos se producen en ángulos representados por enteros no nulos m. Obsérvese que m puede ser positivo o negativo, lo que da lugar a órdenes difractados a ambos lados del haz de orden cero.
Esta derivación de la ecuación de la rejilla se basa en una rejilla idealizada. Sin embargo, la relación entre los ángulos de los haces difractados, el espaciado de la rejilla y la longitud de onda de la luz se aplica a cualquier estructura regular del mismo espaciado, porque la relación de fase entre la luz dispersada desde elementos adyacentes de la rejilla sigue siendo la misma. La distribución detallada de la luz difractada depende de la estructura detallada de los elementos de la rejilla, así como del número de elementos de la misma, pero siempre da máximos en las direcciones dadas por la ecuación de la rejilla.
Se pueden fabricar rejillas en las que se modulan varias propiedades de la luz incidente en un patrón periódico; éstas incluyen
- la transparencia (rejillas de difracción de amplitud de transmisión);
- la reflectancia (rejillas de difracción de amplitud de reflexión);
- el índice de refracción o la longitud del camino óptico (rejillas de difracción de fase);
- la dirección del eje óptico (rejillas de difracción de eje óptico).
La ecuación de la rejilla se aplica en todos estos casos.
Electrodinámica cuánticaEditar
La electrodinámica cuántica (QED) ofrece otra derivación de las propiedades de una rejilla de difracción en términos de fotones como partículas (a cierto nivel). La QED puede describirse intuitivamente con la formulación integral de la trayectoria de la mecánica cuántica. Como tal, puede modelar los fotones como si siguieran potencialmente todos los caminos desde una fuente hasta un punto final, cada camino con una cierta amplitud de probabilidad. Estas amplitudes de probabilidad pueden representarse como un número complejo o un vector equivalente -o, como Richard Feynman las llama simplemente en su libro sobre QED, «flechas»-.
Para la probabilidad de que ocurra un determinado suceso, se suman las amplitudes de probabilidad de todas las formas posibles en las que puede ocurrir el suceso, y luego se toma el cuadrado de la longitud del resultado. La amplitud de la probabilidad de que un fotón de una fuente monocromática llegue a un determinado punto final en un momento dado, en este caso, puede modelarse como una flecha que gira rápidamente hasta que se evalúa cuando el fotón llega a su punto final. Por ejemplo, para la probabilidad de que un fotón se refleje en un espejo y sea observado en un punto determinado un tiempo después, se establece la amplitud de la probabilidad del fotón girando a medida que sale de la fuente, lo sigue hasta el espejo y luego hasta su punto final, incluso para las trayectorias que no implican rebotar en el espejo en ángulos iguales. Entonces se puede evaluar la amplitud de la probabilidad en el punto final del fotón; a continuación, se puede integrar sobre todas estas flechas (ver suma vectorial), y elevar al cuadrado la longitud del resultado para obtener la probabilidad de que este fotón se refleje en el espejo de la forma pertinente. Los tiempos de estas trayectorias son los que determinan el ángulo de la flecha de la amplitud de probabilidad, ya que se puede decir que «giran» a una velocidad constante (que está relacionada con la frecuencia del fotón).
Los tiempos de las trayectorias cerca del lugar de reflexión clásico del espejo son casi los mismos, por lo que las amplitudes de probabilidad apuntan casi en la misma dirección, por lo que tienen una suma considerable. Si examinamos las trayectorias hacia los bordes del espejo, veremos que los tiempos de las trayectorias cercanas son bastante diferentes entre sí, por lo que acabamos sumando vectores que se anulan rápidamente. Así, hay una mayor probabilidad de que la luz siga una trayectoria de reflexión cercana a la clásica que una trayectoria más alejada. Sin embargo, se puede hacer una rejilla de difracción a partir de este espejo, raspando las zonas cercanas al borde del espejo que normalmente cancelan las amplitudes cercanas, pero ahora, como los fotones no se reflejan en las partes raspadas, las amplitudes de probabilidad que apuntarían, por ejemplo, a cuarenta y cinco grados, pueden tener una suma considerable. Por lo tanto, esto permite que la luz de la frecuencia correcta sume una mayor amplitud de probabilidad y, como tal, posea una mayor probabilidad de alcanzar el punto final apropiado.
Esta descripción particular implica muchas simplificaciones: una fuente puntual, una «superficie» en la que la luz puede reflejarse (despreciando así las interacciones con los electrones), etc. La mayor simplificación está quizás en el hecho de que el «giro» de las flechas de amplitud de probabilidad se explica en realidad con más precisión como un «giro» de la fuente, ya que las amplitudes de probabilidad de los fotones no «giran» mientras están en tránsito. Obtenemos la misma variación en las amplitudes de probabilidad dejando indeterminado el momento en que el fotón salió de la fuente, y el tiempo de la trayectoria nos dice ahora cuándo habría salido el fotón de la fuente, y por tanto cuál sería el ángulo de su «flecha». Sin embargo, este modelo y aproximación es razonable para ilustrar conceptualmente una rejilla de difracción. La luz de una frecuencia diferente también puede reflejarse en la misma rejilla de difracción, pero con un punto final diferente.