Distribución de Bernoulli

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La distribución de Bernoulli es una distribución discreta que tiene dos posibles resultados etiquetados por n=0 y n=1 en la que n=1 («éxito») ocurre con probabilidad p y n=0 («fracaso») ocurre con probabilidad q=1-p, donde 0p1. Por tanto, tiene función de densidad de probabilidad

P(n)={1-p para n=0; p para n=1,
(1)

que también se puede escribir

P(n)=p^n(1-p)^(1-n).
(2)

La función de distribución correspondiente es

D(n)={1-p para n=0; 1 para n=1.
(3)

La distribución Bernoulli se implementa en el WolframLanguage como BernoulliDistribution.

La realización de un número fijo de ensayos con una probabilidad fija de éxito en cada uno de ellos se conoce como ensayo de Bernoulli.

La distribución de cara y cruz en el lanzamiento de monedas es un ejemplo de distribución de Bernoulli con p=q=1/2. La distribución de Bernoulli es la distribución discreta más simple, y es el bloque de construcción para otras distribuciones discretas más complicadas. Las distribuciones de una serie de tipos de variantes definidas a partir de secuencias de ensayos independientes de Bernoulli que se restringen de alguna manera se resumen en la siguiente tabla (Evans et al. 2000, p. 32).

distribución definición
distribución binomial número de éxitos en n ensayos
distribución geométrica número de fracasos antes de el primer éxito
distribución binomial negativa número de fallos antes del xésimo éxito

La función característica es

phi(t)=1+p(e^(it)-1),
(4)

y la función generadora del momentoes

M(t) = e^(tn)
(5)
= suma_(n=0)^(1)e^(tn)p^n(1-p)^(1-n)
(6)
= e^0(1-p)+e^tp,
(7)

así que

M(t) = (1-p)+pe^t
(8)
M^'(t)'(t) = pe^t
(9)
M^('')(t)'')(t) = pe^t
(10)
M^((n))(t) = pe^t.
(11)

Estos dan momentos crudos

mu_1^'' = p
(12)
mu_2^'' = p
(13)
mu_n^'' = p.
(14)

y momentos centrales

mu_2 = p(1-p)
(15)
mu_3 = p(1-p)(1-2p)
(16)
mu_4 = p(1-p)(3p^2-3p+1).
(17)

La media, la varianza, la asimetríay el exceso de curtosis son entonces

mu = p
(18)
sigma^2 = p(1-p)
(19)
gamma_1 = (1-2p)/(sqrt(p(1-p))
(20)
gamma_2 = (6p^2-6p+1)/(p(1-p)).
(21)

Para encontrar un estimador p^^ para la media de una población Bernoulli con media poblacional p, dejemos que N sea el tamaño de la muestra y supongamos que se obtienen n aciertos de los N ensayos. Suponga un estimador dado por

p^^=n/N,
(22)

por lo que la probabilidad de obtener lo observado n aciertos en N ensayos es entonces

(N; n)p^n(1-p)^(N-n).
(23)

El valor de la expectativa del estimador p^^ viene dado por tanto por

p^ = suma_(n=0)^(N)p(N; n)p^n(1-p)^(N-n)
(24)
= (1-p)^N(1/(1-p))^Np
(25)
= p,
(26)

así que p^^ es efectivamente un estimador insesgado de la media poblacional p.

La desviación media viene dada por

MD=2p(1-p).
(27)

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