Mostrar aviso para móviles Mostrar todas las notas Ocultar todas las notas
Sección 7-1 : Sistemas lineales con dos variables
Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos variables es cualquier sistema que se puede escribir de la forma.
Donde cualquiera de las constantes puede ser cero con la excepción de que cada ecuación debe tener al menos una variable en ella.
Además, el sistema se llama lineal si las variables son sólo a la primera potencia, están sólo en el numerador y no hay productos de variables en ninguna de las ecuaciones.
Aquí tenemos un ejemplo de un sistema con números.
Antes de hablar de cómo resolver sistemas debemos hablar de lo que es una solución de un sistema de ecuaciones. Una solución de un sistema de ecuaciones es un valor de \(x\) y un valor de \(y\) que, al sustituirlo en las ecuaciones, satisface ambas ecuaciones al mismo tiempo.
Para el ejemplo anterior \(x = 2\) y \(y = – 1\) es una solución del sistema. Esto es bastante fácil de comprobar.
Entonces, seguro que ese par de números es una solución del sistema. No te preocupes por cómo hemos obtenido estos valores. Este será el primer sistema que resolvamos cuando entremos en los ejemplos.
Nota que es importante que el par de números satisfaga ambas ecuaciones. Por ejemplo, \(x = 1\) y \(y = – 4\) satisfarán la primera ecuación, pero no la segunda y por tanto no es una solución del sistema. Del mismo modo, \(x = – 1\) y \(y = 1\) satisfará la segunda ecuación, pero no la primera y por lo tanto no puede ser una solución del sistema.
Ahora, ¿qué representa una solución de un sistema de dos ecuaciones? Pues si lo piensas bien, ambas ecuaciones del sistema son rectas. Así que, vamos a graficarlas y ver qué obtenemos.
Como puedes ver la solución del sistema son las coordenadas del punto donde se cruzan las dos rectas. Por tanto, al resolver sistemas lineales con dos variables realmente estamos preguntando dónde se cruzarán las dos rectas.
En esta sección veremos dos métodos para resolver sistemas.
El primer método se llama método de sustitución. En este método resolveremos una de las ecuaciones para una de las variables y la sustituiremos en la otra ecuación. Así obtendremos una ecuación con una variable que podemos resolver. Una vez resuelta sustituimos este valor de nuevo en una de las ecuaciones para encontrar el valor de la variable restante.
En palabras este método no siempre es muy claro. Vamos a trabajar un par de ejemplos para ver cómo funciona este método.
- (\begin{align*}3x – y & = 7\ 2x + 3y & = 1\ end{align*})
- (\begin{align*}5x + 4y & = 1\bx – 6y & = 2\\Nfinal{align*})
Mostrar todas las soluciones Ocultar todas las soluciones
Así que este fue el primer sistema que vimos arriba. Ya conocemos la solución, pero esto nos dará la oportunidad de verificar los valores que escribimos para la solución.
Ahora, el método dice que tenemos que resolver una de las ecuaciones para una de las variables. La ecuación que elijamos y la variable que elijamos depende de ti, pero normalmente es mejor elegir una ecuación y una variable que sean fáciles de tratar. Esto significa que debemos intentar evitar las fracciones si es posible.
En este caso parece que será realmente fácil resolver la primera ecuación para \(y\) así que vamos a hacerlo.
Ahora, sustituye esto en la segunda ecuación.
Esta es una ecuación en \(x\) que podemos resolver así que vamos a hacer eso.
Así que, ahí está la porción \(x\) de la solución.
Por último, NO te olvides de volver y encontrar la porción \(y\) de la solución. Este es uno de los errores más comunes que cometen los estudiantes al resolver sistemas. Para ello, podemos conectar el valor de \ (x\) en una de las ecuaciones originales y resolver para \ (y\) o podemos simplemente conectarlo a nuestra sustitución que encontramos en el primer paso. Eso será más fácil, así que vamos a hacer eso.
Así, la solución es \(x = 2\) y \(y = – 1\) como hemos señalado anteriormente.
b \N(\Nin{align*}5x + 4y & = 1\N3x – 6y & = 2\Nend{align*}) Mostrar solución
Con este sistema no vamos a poder evitar completamente las fracciones. Sin embargo, parece que si resolvemos la segunda ecuación para \(x\) podemos minimizarlas. Aquí está ese trabajo.
Ahora, sustituye esto en la primera ecuación y resuelve la ecuación resultante para \N(y\N).
Finalmente, sustituye esto en la sustitución original para encontrar \N(x\N).
Así, la solución de este sistema es \(x = \frac{1}{3}} y \(y = – \frac{1}{6}}).
Al igual que con las ecuaciones simples, siempre podríamos volver atrás y comprobar esta solución, introduciéndola en ambas ecuaciones y asegurándonos de que satisface ambas ecuaciones. Ten en cuenta también que tendríamos que introducir la solución en ambas ecuaciones. Es muy posible que un error dé como resultado un par de números que satisfagan una de las ecuaciones pero no la otra.
Pasemos ahora al siguiente método para resolver sistemas de ecuaciones. Como vimos en la última parte del ejemplo anterior el método de la sustitución nos obligará muchas veces a tratar con fracciones, lo que aumenta la probabilidad de errores. Este segundo método no tendrá este problema. Bueno, eso no es del todo cierto. Si las fracciones van a aparecer sólo lo harán en el último paso y sólo aparecerán si la solución contiene fracciones.
Este segundo método se llama método de eliminación. En este método multiplicamos una o ambas ecuaciones por los números adecuados (es decir, multiplicamos cada término de la ecuación por el número) para que una de las variables tenga el mismo coeficiente con signos opuestos. El siguiente paso es sumar las dos ecuaciones. Como una de las variables tenía el mismo coeficiente con signos opuestos, se eliminará cuando sumemos las dos ecuaciones. El resultado será una única ecuación que podemos resolver para una de las variables. Una vez hecho esto sustituye esta respuesta de nuevo en una de las ecuaciones originales.
Al igual que con el primer método es mucho más fácil ver lo que ocurre aquí con un par de ejemplos.
- (\begin{align*}5x + 4y & = 1\b 3x – 6y & = 2end{align*})
- (\begin{align*}2x + 4y & = – 10\N- 6x + 3y & = 6\Nfinal{align*})
Mostrar todas las soluciones Ocultar todas las soluciones
Este es el sistema del conjunto de ejemplos anteriores que nos hizo trabajar con fracciones. Al trabajarlo aquí se verán las diferencias entre ambos métodos y también se verá que cualquiera de los dos métodos puede utilizarse para obtener la solución de un sistema.
Así pues, necesitamos multiplicar una o ambas ecuaciones por constantes para que una de las variables tenga el mismo coeficiente con signos opuestos. Así que, como los términos de \ y\ ya tienen signos opuestos vamos a trabajar con estos términos. Parece que si multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2 los términos \(y\) tendrán coeficientes de 12 y -12 que es lo que necesitamos para este método.
Aquí está el trabajo para este paso.
Así que, como prometía la descripción del método tenemos una ecuación que se puede resolver para \(x\). Haciendo esto se obtiene, \(x = \frac{1}{3}}) que es exactamente lo que encontramos en el ejemplo anterior. Fíjate, sin embargo, en que la única fracción con la que hemos tenido que lidiar hasta este punto es la propia respuesta, que es diferente del método de sustitución.
Ahora, de nuevo no te olvides de hallar \N(y\N). En este caso será un poco más de trabajo que el método de sustitución. Para encontrar \(y\) tenemos que sustituir el valor de \(x\) en cualquiera de las ecuaciones originales y resolver para \(y\). Dado que \(x\) es una fracción observemos que, en este caso, si introducimos este valor en la segunda ecuación perderemos las fracciones al menos temporalmente. Obsérvese que muchas veces esto no ocurrirá y nos veremos obligados a tratar con fracciones queramos o no.
De nuevo, este es el mismo valor que encontramos en el ejemplo anterior.
b (\begin{align*}2x + 4y & = – 10\ 6x + 3y & = 6\end{align*}) Mostrar solución
En esta parte todas las variables son positivas por lo que vamos a tener que forzar un signo contrario multiplicando por un número negativo en alguna parte. Fijémonos también en que en este caso si sólo multiplicamos la primera ecuación por -3 entonces los coeficientes de la \N(x\) serán -6 y 6.
A veces sólo necesitamos multiplicar una de las ecuaciones y podemos dejar la otra tranquila. Aquí está este trabajo para esta parte.
Finalmente, enchufa esto en cualquiera de las ecuaciones y resuelve para \(x\). Usaremos la primera ecuación esta vez.
Así, la solución de este sistema es \(x = 3\) y \(y = – 4\).
Hay un tercer método que veremos para resolver sistemas de dos ecuaciones, pero es un poco más complicado y probablemente sea más útil para sistemas con al menos tres ecuaciones, así que lo veremos en una sección posterior.
Antes de dejar esta sección debemos abordar un par de casos especiales en la resolución de sistemas.
Aquí podemos utilizar cualquiera de los dos métodos, pero parece que la sustitución sería probablemente algo más fácil. Resolveremos la primera ecuación para \(x\) y la sustituiremos en la segunda ecuación.
Así pues, está claro que esto no es cierto y no parece haber ningún error en ninguna parte de nuestro trabajo. Entonces, ¿cuál es el problema? Para verlo vamos a graficar estas dos líneas y ver qué obtenemos.
Parece que estas dos rectas son paralelas (¿puedes comprobarlo con las pendientes?) y sabemos que dos rectas paralelas con diferentes \(y\)-intercepciones (eso es importante) nunca se cruzarán.
Como vimos en la discusión inicial de esta sección las soluciones representan el punto en el que se cruzan dos rectas. Si dos rectas no se cruzan no podemos tener una solución.
Entonces, cuando obtenemos este tipo de respuesta sin sentido de nuestro trabajo tenemos dos rectas paralelas y no hay solución a este sistema de ecuaciones.
En este ejemplo parece que la eliminación sería el método más fácil.
A primera vista podría parecer el mismo problema que el ejemplo anterior. Sin embargo, en ese caso acabamos con una igualdad que simplemente no era cierta. En este caso tenemos 0=0 y eso es una igualdad verdadera, por lo que en ese sentido no hay nada malo en esto.
Sin embargo, esto no es claramente lo que esperábamos para una respuesta aquí y por lo tanto tenemos que determinar justo lo que está pasando.
Te dejaremos para que verifiques esto, pero si encuentras la pendiente y las intersecciones \ y para estas dos líneas encontrarás que ambas líneas tienen exactamente la misma pendiente y ambas líneas tienen exactamente la misma intersección \ y. ¿Qué significa esto para nosotros? Pues que si dos rectas tienen la misma pendiente y la misma intersección \ (y) entonces las gráficas de las dos rectas son la misma gráfica. En otras palabras, las gráficas de estas dos rectas son la misma gráfica. En estos casos cualquier conjunto de puntos que satisfaga una de las ecuaciones también satisfará la otra ecuación.
Además, recuerda que la gráfica de una ecuación no es más que el conjunto de todos los puntos que satisfacen la ecuación. Es decir, hay un conjunto infinito de puntos que satisfarán este conjunto de ecuaciones.
En estos casos sí queremos escribir algo para una solución. Así que lo que haremos será resolver una de las ecuaciones para una de las variables (no importa cuál elijas). Resolveremos la primera para \N(y\N).
Entonces, dada cualquier \N(x\) podemos encontrar una \N(y\N) y estos dos números formarán una solución del sistema de ecuaciones. Solemos denotar esto escribiendo la solución de la siguiente manera,
Para mostrar que esto da soluciones vamos a trabajar con un par de valores de \N(t\).
(t = 0)
Para demostrar que esto es una solución tenemos que enchufarlo en las dos ecuaciones del sistema.
Así que, \(x = 0\) y \(y = – \frac{1}{5}\) es una solución del sistema. Hagamos otro muy rápido.
(t = – 3\)
De nuevo tenemos que enchufarlo en las dos ecuaciones del sistema para demostrar que es una solución.
Seguro que \(x = – 3\) y \(y = 1\) es una solución.
Entonces, como hay un número infinito de posibles \(t\) debe haber un número infinito de soluciones para este sistema y vienen dadas por,
Sistemas como los de los ejemplos anteriores se llaman dependientes.
Ahora hemos visto las tres posibilidades de solución de un sistema de ecuaciones. Un sistema de ecuaciones no tendrá ninguna solución, exactamente una solución o infinitas soluciones.