Die Beziehung zwischen dem Gitterabstand und den Winkeln des einfallenden und des gebeugten Lichtstrahls ist als Gittergleichung bekannt. Nach dem Huygens-Fresnel-Prinzip kann jeder Punkt auf der Wellenfront einer sich ausbreitenden Welle als eine Punktquelle betrachtet werden, und die Wellenfront an jedem nachfolgenden Punkt kann durch Addition der Beiträge von jeder dieser einzelnen Punktquellen gefunden werden. Gitter können vom ‚reflektierenden‘ oder ‚transmissiven‘ Typ sein, analog zu einem Spiegel bzw. einer Linse. Ein Gitter hat einen „Modus nullter Ordnung“ (mit m = 0), in dem es keine Beugung gibt und ein Lichtstrahl sich nach den Gesetzen der Reflexion und Brechung verhält wie bei einem Spiegel bzw. einer Linse.
Ein idealisiertes Gitter besteht aus einer Reihe von Schlitzen mit einem Abstand d, der breiter sein muss als die interessierende Wellenlänge, um Beugung zu verursachen. Unter der Annahme einer ebenen Welle monochromatischen Lichts der Wellenlänge λ mit normalem Einfall (senkrecht zum Gitter) wirkt jeder Spalt im Gitter wie eine Quasi-Punktquelle, von der sich das Licht in alle Richtungen ausbreitet (obwohl dies typischerweise auf eine Halbkugel beschränkt ist). Nachdem das Licht mit dem Gitter wechselwirkt, setzt sich das gebeugte Licht aus der Summe der interferierenden Wellenkomponenten zusammen, die von jedem Spalt im Gitter ausgehen. An jedem gegebenen Punkt im Raum, den das gebeugte Licht passieren kann, variiert die Weglänge zu jedem Spalt im Gitter. Da die Weglänge variiert, variieren im Allgemeinen auch die Phasen der Wellen an diesem Punkt von jedem der Spaltöffnungen. So addieren oder subtrahieren sie sich gegenseitig und erzeugen durch additive und destruktive Interferenz Spitzen und Täler. Wenn der Wegunterschied zwischen dem Licht aus benachbarten Schlitzen gleich der halben Wellenlänge λ/2 ist, sind die Wellen phasenverschoben und heben sich daher gegenseitig auf, um Punkte mit minimaler Intensität zu erzeugen. Ähnlich verhält es sich, wenn der Gangunterschied λ beträgt, addieren sich die Phasen und es treten Maxima auf. Für einen normal auf ein Gitter einfallenden Strahl treten die Maxima bei Winkeln θm auf, die die Beziehung d sinθm/λ = | m | erfüllen, wobei θm der Winkel zwischen dem gebeugten Strahl und dem Normalenvektor des Gitters und d der Abstand von der Mitte eines Spalts zur Mitte des benachbarten Spalts ist und m eine ganze Zahl ist, die den interessierenden Ausbreitungsmodus darstellt.
Wenn also Licht normal auf das Gitter fällt, hat das gebeugte Licht Maxima bei Winkeln θm, die durch gegeben sind:
d sin θ m = m λ . d sin θ m = m λ .
Es kann gezeigt werden, dass, wenn eine ebene Welle unter einem beliebigen Winkel θi einfällt, die Gittergleichung lautet:
d ( sin θ i – sin θ m ) = m λ . {\displaystyle d(\sin \theta _{i}-\sin \theta _{m})=m\lambda .}
Löst man die Gleichung für die gebeugten Winkelmaxima, so lautet sie:
θ m = arcsin ( sin θ i – m λ d ) . θ m = arcsin ( sin θ i – m λ d ) .
Bitte beachten Sie, dass diese Gleichungen davon ausgehen, dass beide Seiten des Gitters in Kontakt mit demselben Medium (z. B. Luft) sind.Das Licht, das der direkten Transmission (bzw. der spiegelnden Reflexion im Falle eines Reflexionsgitters) entspricht, wird als Nullordnung bezeichnet und mit m = 0 bezeichnet. Die anderen Maxima treten bei Winkeln auf, die durch ganze Zahlen m ungleich Null dargestellt werden. Beachten Sie, dass m positiv oder negativ sein kann, was zu gebeugten Ordnungen auf beiden Seiten des Strahls nullter Ordnung führt.
Diese Herleitung der Gittergleichung basiert auf einem idealisierten Gitter. Die Beziehung zwischen den Winkeln der gebeugten Strahlen, dem Gitterabstand und der Wellenlänge des Lichts gilt jedoch für jede regelmäßige Struktur mit demselben Abstand, da die Phasenbeziehung zwischen dem von benachbarten Elementen des Gitters gestreuten Licht gleich bleibt. Die detaillierte Verteilung des gebeugten Lichts hängt von der detaillierten Struktur der Gitterelemente sowie von der Anzahl der Elemente im Gitter ab, aber es gibt immer Maxima in den durch die Gittergleichung gegebenen Richtungen.
Es können Gitter hergestellt werden, bei denen verschiedene Eigenschaften des einfallenden Lichts in einem periodischen Muster moduliert werden; dazu gehören
- Transparenz (Transmissionsamplituden-Beugungsgitter);
- Reflexionsgrad (Reflexionsamplituden-Beugungsgitter);
- Brechungsindex oder optische Weglänge (Phasenbeugungsgitter);
- Richtung der optischen Achse (optische Achsen-Beugungsgitter).
Die Gittergleichung gilt in all diesen Fällen.
QuantenelektrodynamikBearbeiten
Die Quantenelektrodynamik (QED) bietet eine weitere Ableitung der Eigenschaften eines Beugungsgitters in Form von Photonen als Teilchen (auf irgendeinem Niveau). Die QED kann intuitiv mit der Pfadintegralformulierung der Quantenmechanik beschrieben werden. Als solche kann sie Photonen als potentiell allen Pfaden folgend von einer Quelle zu einem Endpunkt modellieren, wobei jeder Pfad mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsamplitude versehen ist. Diese Wahrscheinlichkeitsamplituden können als komplexe Zahl oder äquivalenter Vektor dargestellt werden – oder, wie Richard Feynman sie in seinem Buch über QED einfach nennt, als „Pfeile“.
Für die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt, summiert man die Wahrscheinlichkeitsamplituden für alle möglichen Wege, auf denen das Ereignis eintreten kann, und nimmt dann das Quadrat der Länge des Ergebnisses. Die Wahrscheinlichkeits-Amplitude dafür, dass ein Photon aus einer monochromatischen Quelle zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Endpunkt ankommt, kann in diesem Fall als ein Pfeil modelliert werden, der sich schnell dreht, bis er ausgewertet wird, wenn das Photon seinen Endpunkt erreicht. Zum Beispiel für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon von einem Spiegel reflektiert wird und an einem gegebenen Punkt eine gegebene Zeit später beobachtet wird, setzt man die Wahrscheinlichkeits-Amplitude des Photons drehend, wenn es die Quelle verlässt, ihr zum Spiegel folgt und dann zu seinem Endpunkt, auch für Pfade, die kein Abprallen vom Spiegel in gleichen Winkeln beinhalten. Man kann dann die Wahrscheinlichkeits-Amplitude am Endpunkt des Photons auswerten; als nächstes kann man über alle diese Pfeile integrieren (siehe Vektorsumme) und die Länge des Ergebnisses quadrieren, um die Wahrscheinlichkeit zu erhalten, dass dieses Photon auf die entsprechende Weise vom Spiegel reflektiert wird. Die Zeiten, die diese Pfade nehmen, bestimmen den Winkel des Wahrscheinlichkeitsamplitudenpfeils, da man sagen kann, dass sie sich mit einer konstanten Rate „drehen“ (die mit der Frequenz des Photons zusammenhängt).
Die Zeiten der Pfade in der Nähe der klassischen Reflexionsstelle des Spiegels sind fast gleich, so dass die Wahrscheinlichkeitsamplituden in fast die gleiche Richtung zeigen – sie haben also eine große Summe. Betrachtet man die Pfade in Richtung der Kanten des Spiegels, so stellt man fest, dass die Zeiten der nahegelegenen Pfade sehr unterschiedlich sind, so dass sich die Summe der Vektoren schnell aufhebt. Es besteht also eine höhere Wahrscheinlichkeit, dass das Licht einem nahen klassischen Reflexionsweg folgt als einem weiter außen liegenden Weg. Allerdings kann man aus diesem Spiegel ein Beugungsgitter machen, indem man Bereiche in der Nähe des Spiegelrandes abkratzt, die normalerweise die Amplituden in der Nähe auslöschen – aber da die Photonen nun nicht von den abgekratzten Teilen reflektiert werden, können die Wahrscheinlichkeitsamplituden, die z. B. alle auf einen Winkel von 45 Grad zeigen würden, eine beträchtliche Summe haben. Dadurch kann sich das Licht der richtigen Frequenz zu einer größeren Wahrscheinlichkeitsamplitude summieren und somit eine größere Wahrscheinlichkeit besitzen, den entsprechenden Endpunkt zu erreichen.
Diese spezielle Beschreibung beinhaltet viele Vereinfachungen: eine Punktquelle, eine „Oberfläche“, an der das Licht reflektiert werden kann (wodurch die Wechselwirkungen mit Elektronen vernachlässigt werden) und so weiter. Die größte Vereinfachung besteht vielleicht in der Tatsache, dass das „Drehen“ der Wahrscheinlichkeitsamplitudenpfeile eigentlich genauer als ein „Drehen“ der Quelle erklärt wird, da sich die Wahrscheinlichkeitsamplituden von Photonen nicht „drehen“, während sie unterwegs sind. Wir erhalten dieselbe Variation der Wahrscheinlichkeitsamplituden, wenn wir den Zeitpunkt, zu dem das Photon die Quelle verlassen hat, unbestimmt lassen – und der Zeitpunkt des Weges sagt uns nun, wann das Photon die Quelle verlassen hätte und somit, wie der Winkel seines „Pfeils“ sein würde. Dennoch ist dieses Modell und diese Näherung eine vernünftige, um ein Beugungsgitter konzeptionell zu veranschaulichen. An demselben Beugungsgitter kann auch Licht einer anderen Frequenz reflektiert werden, allerdings mit einem anderen Endpunkt.