Bernoulli-Verteilung

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Die Bernoulli-Verteilung ist eine diskrete Verteilung mit zwei möglichen Ergebnissen, die durch n=0 und n=1 bezeichnet werden, wobei n=1 („Erfolg“) mit Wahrscheinlichkeit p und n=0 („Misserfolg“) mit Wahrscheinlichkeit q=1-p, wobei 0p1. Es hat also eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

P(n)={1-p für n=0; p für n=1,
(1)

Dies kann auch geschrieben werden

P(n)=p^n(1-p)^(1-n).
(2)

Die entsprechende Verteilungsfunktion ist

Die Bernoulli-Verteilung ist in der WolframLanguage als BernoulliDistribution implementiert.

Die Durchführung einer festen Anzahl von Versuchen mit einer festen Erfolgswahrscheinlichkeit pro Versuch wird als Bernoulli-Versuch bezeichnet.

Die Verteilung von Kopf und Zahl beim Münzwurf ist ein Beispiel für eine Bernoulli-Verteilung mit p=q=1/2. Die Bernoulli-Verteilung ist die einfachste diskrete Verteilung und sie ist der Baustein für andere, kompliziertere diskrete Verteilungen. Die Verteilungen einer Reihe von Variantentypen, die auf der Grundlage von Sequenzen unabhängiger Bernoulli-Versuche definiert sind, die in irgendeiner Weise eingeschränkt werden, sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst (Evans et al. 2000, S. 32).

D(n)={1-p für n=0; 1 für n=1.
(3)
Distribution Definition
Binomialverteilung Anzahl der Erfolge in n Versuchen
geometrische Verteilung Anzahl der Misserfolge vor dem ersten Erfolg
negative Binomialverteilung Anzahl der Fehlschläge vor dem x-ten Erfolg

Die charakteristische Funktion ist

phi(t)=1+p(e^(it)-1),
(4)

und die moment-erzeugende Funktion ist

M(t) = e^(tn)
(5)
= sum_(n=0)^(1)e^(tn)p^n(1-p)^(1-n)
(6)
= e^0(1-p)+e^tp,
(7)

so

M(t) = (1-p)+pe^t
(8)
M^'(t)'(t) = pe^t
(9)
M^('')(t)'')(t) = pe^t
(10)
M^((n))(t) = pe^t.
(11)

Diese geben rohe Momente

mu_1^'' = p
(12)
mu_2^'' = p
(13)
mu_n^'' = p.
(14)

und zentrale Momente

mu_2 = p(1-p)
(15)
mu_3 = p(1-p)(1-2p)
(16)
mu_4 = p(1-p)(3p^2-3p+1).
(17)

Der Mittelwert, die Varianz, die Schiefe,und Kurtosis-Exzess sind dann

mu = p
(18)
sigma^2 = p(1-p)
(19)
gamma_1 = (1-2p)/(sqrt(p(1-p)))
(20)
gamma_2 = (6p^2-6p+1)/(p(1-p)).
(21)

Um einen Schätzer zu finden p^^ für den Mittelwert einer Bernoulli-Population mit Populationsmittelwert p, sei N der Stichprobenumfang und nehme an, dass n Erfolge aus den N Versuchen erhalten werden. Nehmen Sie einen Schätzer an, der gegeben ist durch

p^^=n/N,
(22)

so dass die Wahrscheinlichkeit, die beobachtete n Erfolge in N Versuchen ist dann

(N; n)p^n(1-p)^(N-n).
(23)

Der Erwartungswert des Schätzers p^^ ist also gegeben durch

p^^ = sum_(n=0)^(N)p(N; n)p^n(1-p)^(N-n)
(24)
= (1-p)^N(1/(1-p))^Np
(25)
= p,
(26)

so p^^ tatsächlich ein unverzerrter Schätzer für den Populationsmittelwert p.

Die mittlere Abweichung ist gegeben durch

MD=2p(1-p).
(27)

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