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Abschnitt 1-4 : Polynome
In diesem Abschnitt beginnen wir mit der Betrachtung von Polynomen. Polynome werden im weiteren Verlauf dieses Materials in so ziemlich jedem Abschnitt eines jeden Kapitels auftauchen und daher ist es wichtig, dass Sie sie verstehen.
Wir beginnen mit Polynomen in einer Variablen. Polynome in einer Variablen sind algebraische Ausdrücke, die aus Termen der Form \(a{x^n}\) bestehen, wobei \(n\) eine nicht-negative (d.h. positive oder Null) ganze Zahl ist und \(a\) eine reelle Zahl ist und als Koeffizient des Terms bezeichnet wird. Der Grad eines Polynoms in einer Variablen ist der größte Exponent im Polynom.
Beachten Sie, dass wir oft den Teil „in einer Variablen“ weglassen und einfach Polynom sagen.
Hier sind Beispiele für Polynome und ihre Grade.
So muss ein Polynom nicht alle Potenzen von \(x\) enthalten, wie wir im ersten Beispiel sehen. Auch können Polynome aus einem einzigen Term bestehen, wie wir im dritten und fünften Beispiel sehen.
Wir sollten das letzte Beispiel vielleicht noch ein wenig diskutieren. Dies ist wirklich ein Polynom, auch wenn es vielleicht nicht wie eines aussieht. Denken Sie daran, dass ein Polynom jeder algebraische Ausdruck ist, der aus Termen der Form \(a{x^n}\) besteht. Eine andere Art, das letzte Beispiel zu schreiben, ist
\
Durch diese Schreibweise wird deutlich, dass der Exponent von \(x\) eine Null ist (das erklärt auch den Grad…) und so können wir sehen, dass es sich wirklich um ein Polynom in einer Variablen handelt.
Hier sind einige Beispiele für Dinge, die keine Polynome sind.
Das erste ist kein Polynom, weil es einen negativen Exponenten hat und alle Exponenten in einem Polynom positiv sein müssen.
Um zu sehen, warum das zweite kein Polynom ist, schreiben wir es ein wenig um.
Indem wir die Wurzel in die Exponentenform umwandeln, sehen wir, dass es eine rationale Wurzel in dem algebraischen Ausdruck gibt. Alle Exponenten in dem algebraischen Ausdruck müssen nicht-negative ganze Zahlen sein, damit der algebraische Ausdruck ein Polynom ist. Als allgemeine Faustregel gilt: Wenn ein algebraischer Ausdruck ein Radikal enthält, dann ist er kein Polynom.
Schreiben wir auch den dritten Ausdruck um, um zu sehen, warum er kein Polynom ist.
So hat dieser algebraische Ausdruck wirklich einen negativen Exponenten und wir wissen, dass das nicht erlaubt ist. Eine weitere Faustregel besagt, dass der algebraische Ausdruck kein Polynom ist, wenn sich im Nenner eines Bruchs Variablen befinden.
Beachten Sie, dass dies nicht bedeutet, dass Radikale und Brüche in Polynomen nicht erlaubt sind. Sie dürfen nur die Variablen nicht mit einbeziehen. Zum Beispiel ist das Folgende ein Polynom
\{5}\,{x^4} – \frac{7}{{12}}{x^2} + \frac{1}{{\sqrt 8 }}x – 5\,\,\sqrt{{113}}\]
Es gibt viele Radikale und Brüche in diesem algebraischen Ausdruck, aber die Nenner der Brüche sind nur Zahlen und die Radikanden der einzelnen Radikale sind nur Zahlen. Jedes \(x\) in dem algebraischen Ausdruck steht im Zähler und der Exponent ist eine positive (oder null) ganze Zahl. Daher ist dies ein Polynom.
Als Nächstes werfen wir einen kurzen Blick auf Polynome in zwei Variablen. Polynome in zwei Variablen sind algebraische Ausdrücke, die aus Termen der Form \(a{x^n}{y^m}\) bestehen. Der Grad jedes Terms in einem Polynom in zwei Variablen ist die Summe der Exponenten in jedem Term und der Grad des Polynoms ist die größte solche Summe.
Hier sind einige Beispiele für Polynome in zwei Variablen und ihre Grade.
In diesen Arten von Polynomen muss nicht jeder Term sowohl \(x\)’s als auch \(y\)’s in sich haben, tatsächlich müssen sie, wie wir im letzten Beispiel sehen, keine Terme haben, die sowohl \(x\)’s als auch \(y\)’s enthalten. Außerdem kann der Grad des Polynoms aus Termen stammen, die nur eine Variable enthalten. Beachten Sie auch, dass mehrere Terme denselben Grad haben können.
Wir können auch über Polynome in drei Variablen oder vier Variablen oder so viele Variablen wie nötig sprechen. Die überwiegende Mehrheit der Polynome, die wir in diesem Kurs sehen werden, sind Polynome in einer Variablen und so werden die meisten Beispiele im Rest dieses Abschnitts Polynome in einer Variablen sein.
Als Nächstes müssen wir einige Terminologie aus dem Weg räumen. Ein Monomial ist ein Polynom, das aus genau einem Term besteht. Ein Binom ist ein Polynom, das aus genau zwei Termen besteht. Und schließlich ist ein Trinom ein Polynom, das aus genau drei Termen besteht. Wir werden diese Begriffe immer wieder verwenden, also sollten Sie zumindest ein wenig mit ihnen vertraut sein.
Nun müssen wir über das Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren von Polynomen sprechen. Sie werden feststellen, dass wir die Division von Polynomen ausgelassen haben. Das wird in einem späteren Abschnitt besprochen, in dem wir die Division von Polynomen recht häufig verwenden werden.
Bevor wir mit dieser Diskussion beginnen, müssen wir uns an das Distributivgesetz erinnern. Dieses wird im weiteren Verlauf dieses Abschnitts immer wieder verwendet werden. Hier ist das Distributivgesetz.
Wir werden mit dem Addieren und Subtrahieren von Polynomen beginnen. Das geht am besten mit ein paar Beispielen.
- Addiere \(6{x^5} – 10{x^2} + x – 45\) zu \(13{x^2} – 9x + 4\).
- Subtrahiere \(5{x^3} – 9{x^2} + x – 3\) von \({x^2} + x + 1\).
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Das erste, was wir tun sollten, ist, die Operation, um die wir gebeten werden, tatsächlich aufzuschreiben.
In diesem Fall sind die Klammern nicht erforderlich, da wir die beiden Polynome addieren. Sie sind einfach da, um die Operation zu verdeutlichen, die wir durchführen. Um zwei Polynome zu addieren, ist alles, was wir tun, gleichartige Terme zu kombinieren. Das bedeutet, dass wir für jeden Term mit dem gleichen Exponenten den Koeffizienten dieses Terms addieren oder subtrahieren.
In diesem Fall ist das,
\
b Subtrahiere \(5{x^3} – 9{x^2} + x – 3\) von \({x^2} + x + 1\). Lösung anzeigen
Schreiben wir noch einmal die Operation auf, die wir hier durchführen. Wir müssen auch sehr auf die Reihenfolge achten, in der wir die Dinge aufschreiben. Hier ist die Operation
\
Diesmal sind die Klammern um den zweiten Term unbedingt erforderlich. Wir subtrahieren das ganze Polynom und die Klammer muss da sein, um sicherzustellen, dass wir tatsächlich das ganze Polynom subtrahieren.
Bei der Subtraktion ist das erste, was wir tun, das Minuszeichen durch die Klammer zu verteilen. Das bedeutet, dass wir das Vorzeichen an jedem Term des zweiten Polynoms ändern werden. Beachten Sie, dass wir hier eigentlich nur ein „-1“ durch das zweite Polynom multiplizieren, indem wir das Distributivgesetz anwenden. Nachdem wir das Minus durch die Klammer verteilt haben, kombinieren wir wieder gleiche Terme.
Hier ist die Arbeit für dieses Problem.
Beachten Sie, dass manchmal ein Term nach dem Kombinieren gleicher Terme komplett herausfällt, wie es hier der Fall war. Das wird gelegentlich passieren, also regen Sie sich nicht auf, wenn es passiert.
Wenden wir uns nun der Multiplikation von Polynomen zu. Auch hier ist es am besten, dies in einem Beispiel zu tun.
- \(4{x^2}\left( {{x^2} – 6x + 2} \right)\)
- \(\left( {3x + 5} \right)\left( {x – 10} \right)\)
- \(\left( {4{x^2} – x} \right)\left( {6 – 3x} \right)\)
- \(\left( {3x + 7y} \right)\left( {x – 2y} \right)\)
- (\(\left( {2x + 3} \right)\left( {{x^2} – x + 1} \right)\)
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Dies ist nichts weiter als eine schnelle Anwendung des Distributivgesetzes.
\
b \(\left( {3x + 5} \right)\left( {x – 10} \right)\) Lösung anzeigen
Hier wird die FOIL-Methode für die Multiplikation dieser beiden Binome verwendet.
\
Erinnern Sie sich, dass die FOIL-Methode nur bei der Multiplikation von zwei Binomen funktioniert. Wenn eines der Polynome kein Binom ist, funktioniert die FOIL-Methode nicht.
Auch ist zu beachten, dass wir hier eigentlich nur jeden Term des zweiten Polynoms mit jedem Term des ersten Polynoms multiplizieren. Das Akronym FOIL ist einfach eine bequeme Art, sich dies zu merken.
c \(\left( {4{x^2} – x} \right)\left( {6 – 3x} \right)\) Lösung anzeigen
Auch hier werden wir uns einfach rauswinden.
\
d \(\left( {3x + 7y} \right)\left( {x – 2y} \right)\) Lösung anzeigen
Wir können immer noch Binome, die mehr als eine Variable einschließen, FÜLLEN, also regen Sie sich nicht über diese Art von Problemen auf, wenn sie auftreten.
\
e \(\links( {2x + 3} \rechts)\links( {{x^2} – x + 1} \rechts)\) Lösung anzeigen
In diesem Fall wird die FOIL-Methode nicht funktionieren, da das zweite Polynom kein Binom ist. Erinnern Sie sich jedoch daran, dass das FOIL-Akronym nur ein Weg war, um sich daran zu erinnern, dass wir jeden Term im zweiten Polynom mit jedem Term im ersten Polynom multiplizieren.
Das ist alles, was wir hier tun müssen.
\
Lassen Sie uns eine weitere Reihe von Beispielen bearbeiten, die einige schöne Formeln für einige spezielle Produkte illustrieren. Wir geben die Formeln nach dem Beispiel an.
- \(\left( {3x + 5} \right)\left( {3x – 5} \right)\)
- \({\left( {2x + 6} \right)^2}\)
- \({\left( {1 – 7x} \right)^2}\)
- \(4{\left( {x + 3} \right)^2}\)
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Wir können hier FOIL verwenden, also machen wir das.
\
In diesem Fall fallen die mittleren Terme weg.
b \({\left( {2x + 6} \right)^2}\) Lösung anzeigen
Erinnern Sie sich nun daran, dass \({4^2} = \left( 4 \right)\left( 4 \right) = 16\). Das Quadrieren mit Polynomen funktioniert auf die gleiche Weise. In diesem Fall haben wir also,
\
c \({\left( {1 – 7x} \right)^2}\) Lösung anzeigen
Dieser Teil ist fast identisch mit dem vorherigen Teil.
\
d \(4{\left( {x + 3} \right)^2}\) Lösung anzeigen
Dieser Teil soll uns daran erinnern, dass wir mit Koeffizienten vorsichtig sein müssen. Wenn wir einen Koeffizienten haben, MÜSSEN wir zuerst die Potenzierung durchführen und dann den Koeffizienten multiplizieren.
Sie können einen Koeffizienten nur dann durch einen Satz von Klammern multiplizieren, wenn ein Exponent von „1“ auf der Klammer steht. Wenn es irgendeinen anderen Exponenten gibt, dann können Sie den Koeffizienten nicht durch die Klammer multiplizieren.
Nur um den Punkt zu illustrieren.
Dies ist eindeutig nicht das Gleiche wie die richtige Antwort, also seien Sie vorsichtig!
Die Teile dieses Beispiels verwenden alle eines der folgenden speziellen Produkte.
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Achten Sie darauf, dass Sie die folgenden Fehler nicht machen!
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Dies sind sehr häufige Fehler, die Schüler oft machen, wenn sie zum ersten Mal lernen, wie man Polynome multipliziert.