Bei einem Tiefpassfilter beginnt das Durchlassband bei 0Hz oder DC und setzt sich bis zum angegebenen Grenzfrequenzpunkt bei -3dB unterhalb der maximalen Durchlassbandverstärkung fort. Bei einem Hochpassfilter beginnt das Durchlassband bei dieser Grenzfrequenz von -3 dB und reicht bis unendlich oder bis zur maximalen Verstärkung eines aktiven Filters.
Das aktive Bandpassfilter unterscheidet sich jedoch insofern, als dass es eine frequenzselektive Filterschaltung ist, die in elektronischen Systemen verwendet wird, um ein Signal bei einer bestimmten Frequenz oder einen Bereich von Signalen, die innerhalb eines bestimmten „Bandes“ von Frequenzen liegen, von Signalen bei allen anderen Frequenzen zu trennen. Dieses Band oder dieser Frequenzbereich wird zwischen zwei Grenz- oder Eckfrequenzpunkten eingestellt, die als „untere Frequenz“ ( ƒL ) und „obere Frequenz“ ( ƒH ) bezeichnet werden, während alle Signale außerhalb dieser beiden Punkte gedämpft werden.
Ein einfaches aktives Bandpassfilter kann leicht durch die Kaskadierung eines einzelnen Tiefpassfilters mit einem einzelnen Hochpassfilter wie gezeigt hergestellt werden.
Die Grenz- oder Eckfrequenz des Tiefpassfilters (LPF) ist höher als die Grenz- oder Eckfrequenz des HochpassfiltersOff-Frequenz des Hochpassfilters (HPF) und die Differenz zwischen den Frequenzen am -3dB-Punkt bestimmt die „Bandbreite“ des Bandpassfilters, wobei alle Signale außerhalb dieser Punkte gedämpft werden. Eine Möglichkeit, ein sehr einfaches aktives Bandpassfilter herzustellen, besteht darin, die grundlegenden passiven Hoch- und Tiefpassfilter, die wir zuvor betrachtet haben, wie gezeigt mit einer verstärkenden Operationsverstärkerschaltung zu verbinden.
Aktives Bandpassfilter
Durch die Kaskadierung der einzelnen passiven Tief- und Hochpassfilter entsteht eine Filterschaltung mit niedrigem „Q-Faktor“ und einem breiten Durchlassbereich. Die erste Stufe des Filters wird die Hochpassstufe sein, die den Kondensator verwendet, um jegliche Gleichstromvorspannung von der Quelle zu blockieren. Dieses Design hat den Vorteil, dass es einen relativ flachen, asymmetrischen Frequenzgang im Durchlassbereich erzeugt, wobei die eine Hälfte den Tiefpassbereich und die andere Hälfte den Hochpassbereich darstellt (siehe Abbildung).
Der obere Eckpunkt ( ƒH ) sowie der untere Eckfrequenz-Abschaltpunkt ( ƒL ) werden wie bei den Standard-Tief- und Hochpassfilterschaltungen erster Ordnung berechnet. Offensichtlich ist ein angemessener Abstand zwischen den beiden Eckpunkten erforderlich, um eine Wechselwirkung zwischen der Tiefpass- und der Hochpassstufe zu verhindern. Der Verstärker sorgt auch für die Isolation zwischen den beiden Stufen und definiert die gesamte Spannungsverstärkung der Schaltung.
Die Bandbreite des Filters ist also die Differenz zwischen diesen oberen und unteren -3dB-Punkten. Nehmen wir zum Beispiel an, wir haben ein Bandpassfilter, dessen -3dB-Grenzpunkte bei 200Hz und 600Hz liegen. Dann wäre die Bandbreite des Filters gegeben als: Bandbreite (BW) = 600 – 200 = 400Hz.
Der normierte Frequenzgang und die Phasenverschiebung für ein aktives Bandpassfilter sind dann wie folgt.
Aktiver Bandpass-Frequenzgang
Während die obige passiv abgestimmte Filterschaltung als Bandpassfilter arbeitet, kann das Durchlassband (Bandbreite) recht breit sein, was ein Problem darstellen kann, wenn man ein kleines Frequenzband isolieren möchte. Aktive Bandpassfilter können auch mit einem invertierenden Operationsverstärker hergestellt werden.
Durch Umstellen der Positionen der Widerstände und Kondensatoren innerhalb des Filters können wir also eine viel bessere Filterschaltung herstellen, wie unten gezeigt. Bei einem aktiven Bandpassfilter ist der untere -3dB-Punkt durch ƒC1 gegeben, während der obere -3dB-Punkt durch ƒC2 gegeben ist.
Schaltung eines invertierenden Bandpassfilters
Dieser Typ von Bandpassfilter ist so konstruiert, dass er ein viel schmaleres Durchlassband hat. Die Mittenfrequenz und die Bandbreite des Filters sind abhängig von den Werten von R1, R2, C1 und C2. Der Ausgang des Filters wird wieder vom Ausgang des Operationsverstärkers abgenommen.
Aktives Bandpassfilter mit Mehrfachrückkopplung
Wir können das Bandpassverhalten der obigen Schaltung verbessern, indem wir die Komponenten wieder neu anordnen, um ein Bandpassfilter mit unendlicher Verstärkung und Mehrfachrückkopplung (IGMF) herzustellen. Diese Art von aktivem Bandpassdesign ergibt eine „abgestimmte“ Schaltung, die auf einem aktiven Filter mit negativer Rückkopplung basiert und einen hohen „Q-Faktor“ (bis zu 25) im Amplitudengang und einen steilen Roll-off auf beiden Seiten der Mittenfrequenz aufweist. Da der Frequenzgang der Schaltung einem Resonanzkreis ähnlich ist, wird diese Mittenfrequenz als Resonanzfrequenz ( ƒr ) bezeichnet. Betrachten Sie die folgende Schaltung.
Aktives Filter mit unendlicher Verstärkung und mehrfacher Rückkopplung
Diese aktive Bandpassfilterschaltung nutzt die volle Verstärkung des Operationsverstärkers, wobei eine mehrfache Gegenkopplung über den Widerstand R2 und den Kondensator C2 angelegt wird. Dann können wir die Charakteristik des IGMF-Filters wie folgt definieren:
Wir sehen also, dass das Verhältnis zwischen den Widerständen R1 und R2 den „Q-Faktor“ des Bandpasses und die Frequenz bestimmt, bei der die maximale Amplitude auftritt, die Verstärkung der Schaltung ist gleich -2Q2. Mit zunehmender Verstärkung nimmt auch die Selektivität zu. Mit anderen Worten: hohe Verstärkung – hohe Selektivität.
Aktives Bandpassfilter Beispiel Nr. 1
Ein aktives Bandpassfilter mit einer Spannungsverstärkung Av von eins (1) und einer Resonanzfrequenz ƒr von 1 kHz wird mit einer Filterschaltung mit unendlicher Verstärkung und Mehrfachrückkopplung konstruiert. Berechnen Sie die Werte der Bauteile, die zur Realisierung der Schaltung benötigt werden.
Zunächst können wir die Werte der beiden Widerstände R1 und R2, die für das aktive Filter benötigt werden, mit Hilfe der Verstärkung der Schaltung bestimmen, um Q wie folgt zu finden.
Dann können wir sehen, dass ein Wert von Q = 0,7071 ein Verhältnis des Widerstands R2 ergibt, das dem doppelten Wert des Widerstands R1 entspricht. Dann können wir jeden geeigneten Wert der Widerstände wählen, um das erforderliche Verhältnis von zwei zu erhalten. Dann ist der Widerstand R1 = 10kΩ und R2 = 20kΩ.
Die Mitten- oder Resonanzfrequenz ist mit 1kHz angegeben. Mit den neu erhaltenen Widerstandswerten können wir den Wert der benötigten Kondensatoren bestimmen, wobei wir davon ausgehen, dass C = C1 = C2 ist.
Der nächste Standardwert ist 10nF.
Resonanzfrequenzpunkt
Die tatsächliche Form der Frequenzgangkurve für ein passives oder aktives Bandpassfilter hängt von den Eigenschaften der Filterschaltung ab, wobei die obige Kurve als „idealer“ Bandpass definiert ist. Ein aktives Bandpassfilter ist ein Filter 2. Ordnung, weil es „zwei“ reaktive Komponenten (zwei Kondensatoren) in seiner Schaltung hat.
Als Ergebnis dieser zwei reaktiven Komponenten hat das Filter eine Spitzenantwort oder Resonanzfrequenz ( ƒr ) bei seiner „Mittenfrequenz“, ƒc. Die Mittenfrequenz wird im Allgemeinen als geometrisches Mittel der beiden -3dB-Frequenzen zwischen dem oberen und dem unteren Grenzpunkt berechnet, wobei die Resonanzfrequenz (Schwingungspunkt) wie folgt angegeben wird:
- Wo:
- ƒr ist die Resonanz- oder Mittenfrequenz
- ƒL ist der untere -3dB-Grenzfrequenzpunkt
- ƒH ist der obere -3db-Grenzfrequenzpunkt
Und in unserem einfachen Beispiel im obigen Text, dass der untere und obere -3dB-Grenzfrequenzpunkt eines Filters bei 200Hz bzw. 600Hz liegt, wäre die resonante Mittenfrequenz des aktiven Bandpassfilters:
Das „Q“ oder der Qualitätsfaktor
In einer Bandpassfilterschaltung, bestimmt die Gesamtbreite des tatsächlichen Durchlassbereichs zwischen dem oberen und unteren -3dB-Eckpunkt des Filters den Qualitätsfaktor oder Q-Wert der Schaltung. Dieser Q-Faktor ist ein Maß dafür, wie „selektiv“ oder „unselektiv“ das Bandpassfilter gegenüber einer bestimmten Frequenzspanne ist. Je niedriger der Wert des Q-Faktors, desto breiter ist die Bandbreite des Filters und folglich, je höher der Q-Faktor, desto schmaler und „selektiver“ ist das Filter.
Der Gütefaktor, Q des Filters wird manchmal mit dem griechischen Symbol für Alpha, ( α ), bezeichnet:
Da der Qualitätsfaktor eines aktiven Bandpassfilters (2.Ordnung) sich auf die „Schärfe“ der Filterantwort um seine Mittenresonanzfrequenz ( ƒr ) bezieht, kann man ihn auch als „Dämpfungsfaktor“ oder „Dämpfungskoeffizient“ bezeichnen, denn je mehr Dämpfung das Filter hat, desto flacher ist seine Antwort und umgekehrt, je weniger Dämpfung das Filter hat, desto schärfer ist sein Ansprechverhalten. Das Dämpfungsverhältnis wird mit dem griechischen Symbol von Xi, ( ξ ) angegeben, wobei:
Das „Q“ eines Bandpassfilters ist das Verhältnis der Resonanzfrequenz, ( ƒr ) zur Bandbreite, ( BW ) zwischen der oberen und unteren -3dB-Frequenz und ist gegeben als:
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Dann ergibt sich für unser einfaches obiges Beispiel der Gütefaktor „Q“ des Bandpassfilters als:
346Hz / 400Hz = 0.865. Beachten Sie, dass Q ein Verhältnis ist und keine Einheiten hat.
Bei der Analyse von aktiven Filtern wird in der Regel eine normierte Schaltung betrachtet, die einen „idealen“ Frequenzgang mit einer rechteckigen Form und einem Übergang zwischen dem Durchlassbereich und dem Sperrbereich mit einer abrupten oder sehr steilen Abflachung erzeugt. Diese idealen Frequenzgänge sind jedoch in der realen Welt nicht möglich, so dass wir Näherungen verwenden, um den bestmöglichen Frequenzgang für den Filtertyp zu erhalten, den wir entwerfen wollen.
Die wohl bekannteste Filter-Näherung für diese Aufgabe ist das Butterworth-Filter oder das Filter mit maximal flacher Antwort. Im nächsten Tutorial werden wir uns mit Filtern höherer Ordnung befassen und Butterworth-Näherungen verwenden, um Filter zu erzeugen, die einen möglichst flachen Frequenzgang im Durchlassbereich und einen sanften Übergang oder Roll-off haben.
